6 Výběrový rozptyl

V praxi většinou neznáme rozdělení náhodné veličiny, kterou zkoumáme. V jednodušších případech známe alespoň typ rozdělení a zbývá určit jen parametry, které je charakterizují. Například při zkoumání nahodilých chyb ve fyzice většinou předpokládáme, že zkoumaná veličina má normální rozdělení a provádíme statistický odhad střední hodnoty a rozptylu. Při tom postupujeme tak, že opakovaným měřením za týchž podmínek získáme náhodný výběr hodnot $x_1, x_2,...,x_n$ z možných výsledků měření. Aritmetický průměr:

$$\bf \hat{x}=\frac{\sum \limits_{i=1}^{n}x_i}{n}$$ (29)

Výběrový rozptyl okolo střední hodnoty:

$$\bf D=\frac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\epsilon(x)-x_i)^2}{n}$$ (30)

Určení rozptylu D (vyloučení střední hodnoty, kterou neznáme):
Protože neznáme $\epsilon(x)$ postupujeme takto: označíme $\bf\epsilon_i=x_i-\epsilon(x)$ a  $\bf\Delta_i=x_i-\hat{x}$.
Vzájemným odečtením obou posledních rovnic dostaneme $\bf\epsilon_i-\Delta_i=\hat{x}-\epsilon(x)$.
Sečtením přes všechna i dostaneme

$$\bf \sum \limits_{i=1}^{n}{\epsilon_i}-\sum_{i=1}^{n}{\Delta_i}= n(\hat{x}-\epsilon(x))$$

Protože platí $\sum \limits_{i=1}^{n}{\Delta_i}=0$ je možné poslední rovnici upravit takto

$$\bf \Delta_k=\epsilon_k-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\epsilon_i$$

Umocněním poslední rovnice a sečtením přes všechna k dostaneme

$$\bf\sum_{k=1}^{n}\Delta_k^2=\sum_{k=1}^{n}\epsilon_k^2-\frac{... ...\sum_{k=1}^{n}\epsilon_k^2+2\sum_{i>k}^{n}\epsilon_i\epsilon_k)$$

Zanedbáme-li v závorce výraz s  $\epsilon_i \epsilon_k$, v němž sčítáme jak kladná, tak záporná čísla, dostaneme vztah pro výběrový rozptyl

$$\bf D=\frac{\sum \limits _{i=1}^{n}(\hat{x}-x_i)^2}{n-1}$$ (31)

Častěji než rozptyl se používá standardní (směrodatná) odchylka s jednoho měření

$$\bf s=\sqrt{D}=\sqrt{\frac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\hat{x}-x_i)^2}{n-1}}$$ (32)