7 Chyba nepřímo měřené veličiny

Při vlastním měření přestavuje měřená veličina $x_i$ zřídka požadovaný výsledek měření. Většinou je nutno naměřit veličiny $\bf x_1,x_2,...,x_m$ a výslednou veličinu $\bf y$ vypočítat ze vztahu $\bf y = f(x_1, x_2,....x_m)$. K odhadu střední hodnoty hledané veličiny a rozptylu lze použít:

• metody Taylorova rozvoje funkce $\bf y = f(x_1, x_2,....,x_m)$
• metody dvoubodové aproximace
• metody simulačního výpočtu Monte Carlo

Při běžných měřeních ve fyzice se nejvíce používá metoda Taylorova rozvoje. Metoda dvoubodové aproximace je založena na náhradě rozdělení pravděpodobnosti funkce $\bf y = f(x_1, x_2,....x_m)$ dvoubodovým rozdělením se stejnou střední hodnotou a rozptylem $[6]$.

$$\bf \hat{y} = \sum \limits_{i=1}^{m}\frac{f(\hat{x}_i + \ha... ... + \hat{s}_{x_i}) - f(\hat{x}_i - \hat{s}_{x_i})]^2}{4 \: m}$$ (33)

Metoda Monte Carlo je počítačově orientovaná metoda vycházející z techniky simulace experimentů metodou Monte Carlo $[6]$.

7.1 Metoda Taylorova rozvoje funkce - zákon přenosu chyb

7.1.1 Taylorův rozvoj funkce

Podle Taylorovy věty $[1]$ platí

$$\bf f(x+h) = f(x) + \frac{f'(x)}{1!} h + \frac{f''(x)}{2!} h^2 + \ldots +\frac{f^{(n)}(x)}{n!} h^n + R_{n+1}(x)$$ (34)

Například:

$$\bf e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$$

Obdobně lze rozvést v řadu v okolí nějaké hodnoty i funkce více proměnných

$$\bf f(x_1 + h_1, x_2 + h_2 + \ldots + x_m + h_m) = f(x_1 + ... ...=1}^m h_i^n \frac{\partial^n f}{\partial x_i}}{n!} + R_{n+1}$$

7.1.2 Zákon přenosu chyb

Například v $[3]$ najdeme následující jednoduché odvození zákona přenosu chyb. Mějme aritmetické průměry $\bf\hat{x}_1,\hat{x}_2,...,\hat{x}_m$ $\bf m$ přímo měřených veličin
Odhad střední hodnoty hledané veličiny y vypočteme ze vztahu

$$\bf \hat{y} \doteq f(\hat{x}_1,\hat{x}_2,....,\hat{x}_m)$$ (35)

Změnu y vyjádříme diferenciálem

$$\bf dy=(\frac {\partial f}{\partial x_1})_{x_2,...,x_m} dx_... ... +(\frac {\partial f}{\partial x_m})_{x_1,....,x_{m-1}} dx_m$$ (36)

Předpokládáme i platnost pro konečné odchylky

$$\bf \hat{y}-y_i=(\frac {\partial f}{\partial x_1})(\hat{x}_... ...+..... +(\frac {\partial f}{\partial x_m})(\hat{x}_m-x_{mi})$$

Předpokládejme, že každá z veličin $x_1,...,x_m$ byla změřena n-krát. Umocněním poslední rovnice a sečtením přes všechna $i$ dostaneme

$$\bf \frac {\sum \limits_{i=1}^{n}(\hat{y}-y_i)^2}{n-1}= (\... ...2 \: \frac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\hat{x}_m-x_{mi})^2}{n-1}$$

Po odmocnění dostaneme zákon přenosu (hromadění) chyb

$$\bf \hat{s}_y=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x_1})^2 \:\... ......+ (\frac{\partial f}{\partial x_m})^2 \: \hat{s}_{x_m}^2}$$ (37)

7.1.3 Obecnější odvození zákona přenosu chyb

Výše popsaný způsob odvození vyhovuje pro většinu případů určování chyb měření ve fyzice, kdy se dá předpokládat, že měřené veličiny jsou na sobě nezávislé, směrodatná odchylka je malá ve srovnání se střední hodnotou. Přesnější odvození nalezneme například v $[6]$. Postupuje se zde tak, že funkce $y = f(x_1, x_2, \ldots ,x_m)$ se v okolí střední hodnoty $\bar{x} =(\bar{x}_1, \ldots \bar{x}_m)$ se rozvine v Taylorovu řadu a vypočteme střední hodnotu a rozptyl. Složitost výpočtu záleží na počtu členů řady, které musíme vzít v úvahu pro dosažení požadované přesnosti výpočtu. Pro většinu běžných případ vystačíme pro rozptyl se vztahem

$$\bf s^2(y) \doteq \sum \limits _{i=1}^m \bigl( \frac{\part... ...r) ^2 \bigl( \frac {\partial f}{x_j} \bigr)^2 cov(x_i, x_j),$$ (38)

kde $\bf cov(x_i,x_j)$ kovariance mezi veličinami $\bf x_i$ a $\bf x_j$, která udává závislost mezi náhodnými veličinami $\bf x_i$ a $\bf x_j$. Platí $cov(x_i,x_j) = E[(x_i-\bar{x}_i)\; (x_j - \bar{x}_j)]$. Pro případ vzájemně nezávislých veličin jsou kovariance rovny nule a dostaneme výše odvozený zákon šíření chyb. S případů, kdy není možno kovarianci veličin je možné připomenou například prokládaní přímky, popřípadě polynomu experimentálními body metodou nejmenších čtverců. Počítáme-li chybu bodů $\bf y= k*x + q$, je nutné uvažovat korelaci veličin $\bf k$ a $\bf q.$

7.2 Využití zákona přenosu chyb

Použijeme následující značení:
$\delta(x)$ - chyba vyjádřená absolutně
$\delta_r(x)$ - chyba vyjádřená relativně ( $\delta_r(x)=\frac{\delta(x)}{x}$). Ze zákona přenosu chyb snadno odvodíme následující vztahy:

$$y=x_1 \pm x_2 \pm \ldots \pm x_k \; \; \; \; \Longrightarr... ...(y)=\sqrt{\delta^2(x_1)+\delta^2(x_2)+\ldots +\delta^2(x_k)}$$ (39)

$$y=k\:x \; \; \; \; \Longrightarrow \; \; \; \; \delta(y)=k \: \delta(x)$$ (40)

$$y=x_1 \; x_2 \; \ldots x_k \; \; \; \; \Longrightarrow \; ... ... \delta_r(y)=\sqrt{\delta^2_r(x_1)+ \ldots + \delta^2_r(x_k)}$$ (41)

$$y=\frac{x_1}{x_2} \; \; \; \; \Longrightarrow \; \; \; \delta_r(y)=\sqrt{\delta^2_r(x_1)\; + \; \delta^2_r(x_2) }$$ (42)

$$y=x^n \; \; \; \Longrightarrow \; \; \; \delta_r(y) = n \; \delta_r(x)$$ (43)

Příklad: $y = x_1 - x_2$. Na základě zákona přenosu chyb odvoďte vztah pro určení chyby $\delta (y)$, znáte-li chyby $\delta (x_1)$ a $\delta (x_2)$.

$$\frac{\partial y}{\partial x_1} = 1;\: \: \: \: \frac{\parti... ..._2})^2 \:\delta^2(x_2)}= \sqrt{\delta^2 (x_1) + \delta^2(x_2)}$$

Příklad: $y = x_1 \: x_2$. Na základě zákona přenosu chyb odvoďte vztah pro určení relativní chyby $\delta_r (y)$, znáte-li relativní chyby $\delta_r(x_1)$ a  $\delta_r (x_2)$.

$$\frac{\partial y}{\partial x_1} = x_2;\: \: \: \: \frac{\par... ...2(x_2)}= \sqrt{\delta^2 (x_1)\: x^2_2 + \delta^2(x_2)\: x^2_1}$$

$$\delta_r(y)= \frac{\delta(y)}{y}= \frac{\delta(y)}{x_1 \: x_2... ...lta^2(x_2)}{x^2_2} }= \sqrt{\delta^2_r(x_1) + \delta^2_r(x_2)}$$

Příklad: Pro měření teploty v elektrickém kalorimetru používáme teploměr, který měří teplotu $t$ s chybou $\delta(t) = 0,2\: ^\circ$C. O kolik musí vzrůst teplot v kalorimetru, abychom změnu teploty dokázali změřit s relativní chybou 1%?
Označme $\Delta t = t_2 - t_1$. Chyba $\delta (\Delta t) = \sqrt{\delta ^2(t_2) + \delta ^2(t_1)}= \sqrt{\delta ^2(t) + \delta ^2(t)}= \sqrt{2} \: \delta(t) = 0.28\: ^\circ$C.
Relativní chyba $\delta_r (\Delta t) = \delta (\Delta t) / \Delta t= 0,28 / \Delta t = 0,02$. Z této rovnice vyplývá, že $\Delta t = 14\: ^\circ$C.
Příklad: Měření vlhkosti vzduchu $[2]$: Vzduch se nasává přes U trubici s hygroskopickou látkou. Vážením trubice na analytických vahách dostaneme hmotnost trubice před měřením $m_1$ a hmotnost trubice po měření $m_2$. Objem nasátého vzduchu $V$ určíme z množství prokapané vody (hmotnosti $M_1$ a $M_2$). $V = (M_2-M_1)/\varrho$.
$\varrho$ je měrná hmotnost vody.

$$\varphi=\frac{(m_2-m_1) \: \varrho}{M_2-M_1}; \: \: \: \: \d... ...\delta^2_r(m_2-m_1)+\delta^2_r(M_2-M_1) +\delta^2_r(\varrho)}$$

$$\delta_r(m_2-m_1)=\frac{\sqrt{\delta^2(m_2)+\delta^2(m_1)}}{m... ...a_r(M_2-M_1)=\frac{\sqrt{\delta^2(M_2)+\delta^2(M_1)}}{M_2-M_1}$$

Pro vážení na analytických vahách obvykle platí: $\delta(m_1)=\delta(m_2)=\frac{\kappa (n)}{c},$ kde $\kappa(n)$ je krajní chyba čtení na stupnici vah, c je citlivost vah.