\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{graphics}
\usepackage[czech]{babel} % nebo \usepackage[slovak]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}

\setlength{\topmargin}{-0.4in}
\setlength{\topskip}{0.3in}    % between header and text
\setlength{\textheight}{9.5in} % height of main text
\setlength{\textwidth}{6in}    % width of text\setlength{\oddsidemargin}{0.75in} % odd page left margin
\setlength{\evensidemargin}{0.75in} % even page left margin 

\newcommand\ointint{\begingroup 
\displaystyle \unitlength 1pt 
\int\limits_{S}\mkern-7.2mu 
\begin{picture}(0,3) 
\put(0,3){\oval(12,8)} 
\end{picture} 
\mkern-7mu\int\endgroup}

\begin{document}
% Definition of title page:
\title{IV. Fyzikální pole a Maxwellovy rovnice}
\author{Tomáš Miléř}
\maketitle

\tableofcontents 

\section{Základní vztahy a operátory}

\paragraph{Hamiltonův vektorový operátor nabla}
\begin{equation}
\nabla = \left( {\partial\over\partial x}\, , {\partial\over\partial y}\, , {\partial\over\partial z} \right) \\
\end{equation}

\paragraph{Použití operátoru nabla}
\begin{eqnarray}
\nabla\varphi = {\rm grad}\,\varphi & = & {\rm vektor}\\
\nabla\cdot\vec a = {\rm div}\,\vec a & = & {\rm skal\acute{a} r}\\
\nabla\times\vec a = {\rm rot}\,\vec a & = & {\rm vektor}
\end{eqnarray}

\paragraph{Výpočet gradientu a jeho velikosti}
\begin{eqnarray}
{\rm grad}\,\varphi & = & {\partial\varphi\over\partial x}\,\vec{\imath} + {\partial\varphi\over\partial y}\,\vec{\jmath} + {\partial\varphi\over\partial z}\,\vec{k}\\
\left|{\rm grad}\,\varphi\right| & = & \left[\left({\partial\varphi\over\partial x}\right)^{2} + \left({\partial\varphi\over\partial y}\right)^{2} + \left({\partial\varphi\over\partial z}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray}

\paragraph{Divergence vektorového pole}
\begin{equation}
{\rm div}\,\vec{a} = {\partial a_{\rm x}\over\partial x} + {\partial a_{\rm y}\over\partial y} + {\partial a_{\rm z}\over\partial z}
\end{equation}

\paragraph{Rotace vektorového pole}
\begin{eqnarray}
{\rm rot}\,\vec{a} & = & \left| \begin{array}{ccc}
  \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}\\
  {\partial\over\partial x} & {\partial\over\partial y} & {\partial\over\partial z}\\
  a_{\rm x} & a_{\rm y} & a_{\rm z}
  \end{array}\right| \\
{\rm rot}\,\vec{a} & = & 
  \vec\imath\left({\partial a_{\rm z}\over\partial y}-{\partial a_{\rm y}\over\partial z}\right) 
  +\vec\jmath\left({\partial a_{\rm x}\over\partial z}-{\partial a_{\rm z}\over\partial x}\right) 
  +\vec{k}\left({\partial a_{\rm y}\over\partial x}-{\partial a_{\rm x}\over\partial y}\right) 
\end{eqnarray}

\paragraph{Cirkulace vektorového pole}
\begin{equation}
\oint\limits_{l}\vec{a}\:{\rm d}\vec{l} =\oint\limits_{l}\left( a_{\rm x}\,{\rm d}x + a_{\rm y}\,{\rm d}y + a_{\rm z}\,{\rm d}z\right)
\end{equation}

\paragraph{Tok vektorového pole}
\begin{equation}
\iint\limits_{S}\vec{a}\:{\rm d}\vec{S} =\iint\limits_{S}\vec{a}\left( a_{\rm x}\,{\rm d}S_{\rm x} + a_{\rm y}\,{\rm d}S_{\rm y} + a_{\rm z}\,{\rm d}S_{\rm z}\right)
\end{equation}

\paragraph{Stokesova věta}
\begin{equation}
\oint\limits_{l}\vec{a}\: {\rm d}\vec{l} =\iint\limits_{S}{\rm rot}\,\vec a\: {\rm d}\vec{S}
\end{equation}

\paragraph{Gaussova věta}
\begin{equation}
\ointint\vec{a}\:{\rm d}\vec{S} =\iiint\limits_{V}{\rm div}\,\vec a\: {\rm d}V
\end{equation}

\section{Pole a jeho vlastnosti}

Pojem pole je jedním z nejzákladnějších pojmů fyziky. Růzá pole mají své charakterisické vlastnosti.
Pole je jakákoliv fyzikální veličina, která nabývá různé hodnoty v různých bodech v prostoru.
Příkladem {\em skalárního pole} je teplota, a zapisuje se $T(x, y, z)$, resp. $T(x, y, z, t)$.
Příkladem {\em vektorového pole} je „rychlostní pole“ tekoucí kapaliny, značí se $v(x, y, z, t)$.
Pole lze popsat několika diferenciálními rovnicemi.
Pro názornost lze pole zobrazit pomocí siločar, jde však o hrubé zjednodušení. 

{\em Potenciál} lze zobrazit {\em ekvipotenciálními plochami} (hladinami). Elektrické pole je gradientem potenciálu. 
{\em Gradient} udává směr nejrychlejší změny potenciálu, a proto je kolmý na ekvipotenciální plochu (v každém bodě). V případě osamoceného náboje jsou ekvipotenciálními plochami kulové plochy se středem v náboji.
Jsou-li v jakékoliv situaci dány proudy a náboje, můžeme najít potenciály a derivovat je, čímž dostaneme vektorové pole.

\paragraph{Základní rozdělení polí}
\begin{itemize}
\item Skalární a vektorové
\item Homogenní a nehomogenní
\item Vírové a nevírové
\item Zřídlové a nezřídlové
\end{itemize}

\paragraph{U elektromagnetického pole lze použít dělení na:}
\begin{itemize}
\item Pole statické – náboje jsou v klidu a proudy nulové
\item Pole stacionární – náboje se pohybují konstantní rychlostí, tj. Pole stejnosměrných proudů
\item Pole kvazistacionární – časově proměnné pole ve vodičích (lze zanedbat posuvné proudy, ale je třeba respektovat proudy vodivé)
\item Pole kvazistatické - časově proměnné pole nízkých kmitočtů ve slabě vodivém prostředí (lze zabedbat vírové elektrické pole od proudů)
\end{itemize}

\section{Maxwellovy rovnice}

\subsection{Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru}
\begin{eqnarray}
  \mbox{rot}\vec{E} & = & -\frac{{\partial}{\vec{B}}}{\partial t}\\
  \mbox{rot}\vec{H} & = & \vec{\jmath}+\frac{{\partial}{\vec{D}}}{\partial t}\\
  \mbox{div}\vec{D} & = & \rho\\
  \mbox{div}\vec{B} & = & 0
\end{eqnarray}

\subsection{Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru}
\begin{eqnarray}
  \oint\limits_{l}\vec{E}d\vec{l} & = & -{\iint\limits_{S}\frac{{\partial}{\vec{B}}}{\partial t}}\,d{\vec{S}}\\
  \oint\limits_{l}\vec{H}d\vec{l} & = & \vec{\jmath}+{\iint\limits_{S}\frac{{\partial}{\vec{D}}}{\partial    t}}\,d{\vec{S}}\\
  \ointint\vec{D}\,d\vec{S} & = & \iiint\limits_{V}\rho\, dV\\
  \ointint\vec{B}\,d\vec{S} & = & 0
\end{eqnarray}

\clearpage

\section{Elektrické pole}

\subsection{Pole bodového náboje}

Elektrické pole jako forma hmoty se vyznačuje silami, jež nazýváme elektrickými.

\begin{figure}[ht]
\centering
\scalebox{.60}{\includegraphics{Heviside}}
\caption{Pole elektrického náboje v klidu a pohybujícího se náboje}
\end{figure}

\subsection{Pole dvou nábojů}

\begin{figure}[ht]
\centering
\scalebox{.60}{\includegraphics{elstatPole}}
\caption{Elektrostatické pole nesouhlasných a souhlasných nábojů}
\end{figure}

\subsubsection{Coulombův zákon}

Elektrickou intenzitu v určitém místě pole je možné vypočítat z coulombova zákona, jsou-li známy velikosti a polohy všech nábojů.
{\it Síla, kterou na dva náboje působí jejich společné pole, je úměrná součinu těchto nábojů a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti.}

\begin{figure}[ht]
\centering
\scalebox{0.80}{\includegraphics{Coulomb}}
\caption{Coulombovská síla}
\end{figure}

\subsubsection{Princip superpozice}

\begin{figure}[ht]
\centering
\scalebox{0.80}{\includegraphics{superpozice}}
\caption{Princip superpozice}
\end{figure}

\clearpage

\begin{figure}[ht]
\centering
\scalebox{0.80}{\includegraphics{homogNehomog}}
\caption{Pole homogenní a nehomogenní}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
\centering
\scalebox{0.50}{\includegraphics{Amper}}
\caption{Ampérův zákon}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
\centering
\scalebox{0.80}{\includegraphics{smycka}}
\caption{smyčka}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
\centering
\scalebox{0.50}{\includegraphics{solenoid}}
\caption{Schéma indukčních čar dlouhé cívky (solenoidu)}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
\centering
\scalebox{0.50}{\includegraphics{toroid}}
\caption{Schéma indukčních čar toroidu}
\end{figure}

\clearpage

\section{Elektromagnetické pole}

\begin{figure}[ht]
\centering
\scalebox{0.50}{\includegraphics{elmagPole}}
\caption{Elektromagnetické pole}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
\centering
\scalebox{0.60}{\includegraphics{vznikElmagPole}}
\caption{Vznik elektromagnetického pole}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
\centering
\scalebox{0.60}{\includegraphics{sireniElmagPole}}
\caption{Šíření elektromagnetického pole}
\end{figure}


\begin{figure}[ht]
\centering
\scalebox{0.80}{\includegraphics{elmagPostupnaVlna}}
\caption{Elektromagnetická (postupná) vlna}
\end{figure}

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Feynman} Feynman, Leighton, Sands: {\it Feynmanovy přednášky z fyziky 2}, FRAGMENT, Havlíčkův Brod 2001\\
\bibitem{Fuka} J. Fuka, B. Havelka: {\it Elektřina a magnetismus}, SPN, Praha 1979\\
\bibitem{Peierls} R. E. Peierls: {\it Zákony přírody}, ORBIS, Praha 1961\\
\end{thebibliography}


\end{document}