IV. Fyzikální pole a Maxwellovy rovnice

Tomáš Miléř

28. prosince 2006

Obsah

1 Základní vztahy a operátory  1
2 Pole a jeho vlastnosti  2
3 Maxwellovy rovnice  3
3.1 Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Elektrické pole  4
4.1 Pole bodového náboje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 Pole dvou nábojů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2.1 Coulombův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5 Elektromagnetické pole  8

1 Základní vztahy a operátory

Hamiltonův vektorový operátor nabla

∇ = (\frac{∂}{∂x} , \frac{∂}{∂y} , \frac{∂}{∂z} )  (1)

Použití operátoru nabla

∇φ = grad φ = vektor  (2)
∇ · a⃗ = div a⃗ = skalár  (3)
∇ × a⃗ = rot a⃗ = vektor  (4)

Výpočet gradientu a jeho velikosti

grad φ = \frac{∂φ}{∂x} i⃗ + \frac{∂φ}{∂y} j⃗ + \frac{∂φ}{∂z} k⃗  (5)
|grad φ| = [(\frac{∂φ}{∂x})^{2} + (\frac{∂φ}{∂y})^{2} + (\frac{∂φ}{∂z})^{2}]^{\frac{1}{2}}  (6)

Divergence vektorového pole

div a⃗ = \frac{∂a_{x}}{∂x} + \frac{∂a_{y}}{∂y} + \frac{∂a_{z}}{∂z}  (7)

Rotace vektorového pole

rot a⃗ = | \begin{matrix}i⃗ & j⃗ & k⃗ \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \end{matrix} |  (8)

rot a⃗ = i⃗(\frac{∂a_{z}}{∂y} − \frac{∂a_{y}}{∂z} ) + j⃗(\frac{∂a_{x}}{∂z} − \frac{∂a_{z}}{∂x} ) + k⃗ (\frac{∂a_{y}}{∂x} − \frac{∂a_{x}}{∂y} )  (9)

Cirkulace vektorového pole

∮_{l} a⃗ dl⃗ = ∮_{l} (a_{x} dx + a_{y} dy + a_{z} dz)  (10)

Tok vektorového pole

∫∫_{S} a⃗ dS⃗ = ∫∫_{S} a⃗ (a_{x} dS_{x} + a_{y} dS_{y} + a_{z} dS_{z})  (11)

Stokesova věta

∮_{l} a⃗ dl⃗ = ∫∫_{S} rot a⃗ dS⃗  (12)

Gaussova věta

∫_{S}[figure] ∫ a⃗ dS⃗ = ∫∫∫_{V} div a⃗ dV  (13)

2 Pole a jeho vlastnosti

Pojem pole je jedním z nejzákladnějších pojmů fyziky. Růzá pole mají své charakterisické vlastnosti. Pole je jakákoliv fyzikální veličina, která nabývá různé hodnoty v různých bodech v prostoru. Příkladem skalárního pole je teplota, a zapisuje se T (x, y, z), resp. T (x, y, z, t). Příkladem vektorového pole je „rychlostní pole“ tekoucí kapaliny, značí se v(x, y, z, t). Pole lze popsat několika diferenciálními rovnicemi. Pro názornost lze pole zobrazit pomocí siločar, jde však o hrubé zjednodušení.

Potenciál lze zobrazit ekvipotenciálními plochami (hladinami). Elektrické pole je gradientem potenciálu. Gradient udává směr nejrychlejší změny potenciálu, a proto je kolmý na ekvipotenciální plochu (v každém bodě). V případě osamoceného náboje jsou ekvipotenciálními plochami kulové plochy se středem v náboji. Jsou-li v jakékoliv situaci dány proudy a náboje, můžeme najít potenciály a derivovat je, čímž dostaneme vektorové pole.

Základní rozdělení polí • Skalární a vektorové

• Homogenní a nehomogenní

• Vírové a nevírové

• Zřídlové a nezřídlové

U elektromagnetického pole lze použít dělení na: • Pole statické – náboje jsou v klidu a proudy nulové

• Pole stacionární – náboje se pohybují konstantní rychlostí, tj. Pole stejnosměrných proudů

• Pole kvazistacionární – časově proměnné pole ve vodičích (lze zanedbat posuvné proudy, ale je třeba respektovat proudy vodivé)

• Pole kvazistatické - časově proměnné pole nízkých kmitočtů ve slabě vodivém prostředí (lze zabedbat vírové elektrické pole od proudů)

3 Maxwellovy rovnice

3.1 Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru

rotE⃗ = −\frac{∂B⃗}{∂t}  (14)
rotH⃗ = j⃗ + \frac{∂D⃗}{∂t}  (15)
divD⃗ = ρ  (16)
divB⃗ = 0  (17)

3.2 Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru

∮_{l} E⃗dl⃗ = −∫∫_{S} \frac{∂B⃗}{∂t} dS⃗  (18)
∮_{l} H⃗dl⃗ = j⃗ + ∫∫_{S} \frac{∂D⃗}{∂t} dS⃗  (19)
∫_{S}[figure] ∫ D⃗ dS⃗ = ∫∫∫_{V} ρ dV  (20)
∫_{S}[figure] ∫ B⃗ dS⃗ = 0  (21)

4 Elektrické pole

4.1 Pole bodového náboje

Obrázek 1: Pole elektrického náboje v klidu a pohybujícího se náboje

4.2 Pole dvou nábojů

4.2.1 Coulombův zákon

Elektrické pole jako forma hmoty se vyznačuje silami, jež nazýváme elektrickými. Elektrickou intenzitu v určitém místě pole je možné vypočítat z coulombova zákona, jsou-li známy velikosti a polohy všech nábojů. Síla, kterou na dva náboje působí jejich společné pole, je úměrná součinu těchto nábojů a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti.

4.2.2 Princip superpozice Obrázek 2: Elektrostatické pole nesouhlasných a souhlasných nábojů

Obrázek 3: Coulombovská síla Obrázek 4: Princip superpozice Obrázek 5: Pole homogenní a nehomogenní

Obrázek 6: Ampérův zákon

Obrázek 7: smyčka

Obrázek 8: Schéma indukčních čar dlouhé cívky (solenoidu) Obrázek 9: Schéma indukčních čar toroidu

5 Elektromagnetické pole

Obrázek 10: Elektromagnetické pole

Obrázek 11: Vznik elektromagnetického pole

Reference

[1] Feynman, Leighton, Sands: Feynmanovy přednášky z fyziky 2, FRAGMENT, Havlíčkův Brod 2001

[2] J. Fuka, B. Havelka: Elektřina a magnetismus, SPN, Praha 1979

[3] R. E. Peierls: Zákony přírody, ORBIS, Praha 1961 Obrázek 12: Šíření elektromagnetického pole Obrázek 13: Elektromagnetická (postupná) vlna