2 Náhodná veličina

DEFINICE: Zákon rozdělení náhodné veličiny

je zákon, který udává pravděpodobnosti jevů, které lze touto veličinou popsat, např. jevů $\bf x=x_a$ nebo $x_a \leq x \leq x_b$ atd.

DEFINICE: Diskrétní náhodné veličiny jsou veličiny, které nabývají jen konečně nebo spočetně mnoha hodnot např. 0,1,2,... Jejich zákon rozdělení,
který také nazýváme diskrétním, je zcela popsán pravděpodobnostmi jednotlivých hodnot
$\bf p_a=P\{x=x_a\}$ .

DEFINICE: Spojité náhodné veličiny jsou veličiny, které mají tzv. spojitý zákon rozdělení, který je zcela popsán hustotou pravděpodobnosti nebo stručně jen hustotou $\bf f(x) \geq 0$ , jejíž integrací dostaneme pravděpodobnost, že náhodná veličina padne do intervalu $\bf\langle x_a, x_b \rangle$ :

$\begin{displaymath} \bf P\{x_a \leq x \leq x_b \} = \int \limits _{x_a} ^{x_b} f(x) dx. \end{displaymath}$

(1)

Je-li $\bf f(x)$ spojitá vyjadřuje $\bf f(x) dx$ pravděpodobnost, že náhodná veličina padne do intervalu $\bf\langle x,x+dx \rangle$ .

**Obrázek:** Graf rozdělení pravděpodobnosti pro diskrétní náhodnou veličinu

**Obrázek:** Graf distribuční funkce pro diskrétní náhodnou veličinu z předcházejícího obrázku

DEFINICE:
Distribuční funkce $\bf F(x_b)$ náhodné veličiny

je funkcí, která udává pro každé $\bf x_b$ pravděpodobnost nerovnosti $\bf x<x_b$ . Pro diskrétní náhodné veličiny je $\bf F(x_b) = \sum \limits_{x_a<x_b} p_a$ , kde $\bf p_a = P\{x=x_a\}, \: \: \: -\infty < x_b < + \infty$ .
Pro spojité náhodné veličiny je $\bf F(x_b)=\int \limits _{-\infty}^{x_b} f(x)\;dx$ . Pro spojité náhodné veličiny tedy platí $\bf\frac{d}{dx}F(x)= f(x)$ .

DEFINICE: Střední hodnota $\mu = E(x) = \epsilon(x) = \bar{x}$ diskrétní náhodné veličiny x je definována takto:

$\begin{displaymath} \bf\mu = \sum \limits _{a} x_a \; p_a. \end{displaymath}$

(2)

Pro spojité náhodné veličiny :

$\begin{displaymath} \bf\mu = \int \limits _{-\infty}^{+\infty} x \; f(x) dx \end{displaymath}$

(3)

DEFINICE: Rozptyl diskrétní náhodné veličiny je definován :

$\begin{displaymath}\bf D(x)=\sum \limits _{a}(x_a-\mu)^2 p_a = \sum \limits _{a} x_a^2 p_a - \mu^2 \end{displaymath}$

(4)

Pro spojité náhodné veličiny

$\begin{displaymath}\bf D(x)= \int \limits_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 f(x) \; dx = \int \limits _{-\infty}^{+\infty}x^2 f(x) \; dx -\mu^2, \end{displaymath}$

(5)

kde $\bf\mu$ je střední hodnota.
Příklad: Dokažte předcházející vztah:

$\begin{displaymath}\int \limits_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 f(x) \; dx = \int ... ...t \limits_{-\infty}^{+\infty}x^2 f(x)\: dx - 2\: \mu^2 + \mu^2=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\int \limits_{-\infty}^{+\infty}x^2 f(x)\: dx - \mu^2. \: \:... ...\: \: \: \int \limits_{-\infty}^{+\infty}x \:f(x)\: dx = \mu \end{displaymath}$

Věta: Lineární funkce $\bf a \; x + b$ náhodné veličiny $\bf x$ má tuto střední hodnotu a rozptyl:

$\begin{displaymath}\bf E(a \;x + b) = a \; E(x) +b;\; \; \; \; \; \; D(a \; x + b) = a^2 D(x) \end{displaymath}$

(6)

Poznámka: Při analýze funkce náhodných veličin je třeba mít na paměti, že každá nelineární transformace náhodné veličiny zkreslí její rozdělení a změní i závislost rozptylu na střední hodnotě. I v případě, že má měřená veličina $\bf x$ konstantní rozptyl $\bf D(x)$ výsledky analýzy $\bf y=F(x)$ má již rozptyl nekonstantní, pro který přibližně platí

$\begin{displaymath}\bf \sigma^2(y) = \bigl( \frac{dF(x)}{dx} \bigr) ^2 \sigma^2(x) \end{displaymath}$

(7)

Navíc platí, že střední hodnotu $\bf\bar{y}$ nelze určit přímo dosazením $\bf\bar{x}$ do funkce $\bf F(x)$ ,

$\begin{displaymath}\bf \bar{y} \neq F(\bar{x}) \end{displaymath}$

(8)

**Obrázek:** Hustota pravděpodobnosti pro spojitou náhodnou veličinu

**Obrázek:** Distribuční funkce pro spojitou náhodnou veličinu z předcházejícího obrázku