3 Vybrané typy rozdělení

3.1 Normální rozdělění

Obrázek: Graf normálního rozdělení pro různé hodnoty $\sigma$

Normální rozdělení (Gaussovo rozdělení) je nejznámější model rozdělení spojité náhodné veličiny, používaný v technické praxi. Při opakovaném měření téže veličiny za stejných podmínek způsobují náhodné, nekontrolovatelné vlivy odchylky od skutečné měřené veličiny
DEFINICE: Normovaným normálním rozdělením nazýváme normální rozdělení, které má střední hodnotu 0 a rozptyl 1. Jeho hustota $\varphi(x)$ a distribuční funkce $\phi$(x) jsou

$$\bf \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\: \;e^{-x^2/2} \: \: ... ...{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits _{-\infty}^{x}e^{-t^2/2}\; dt.$$ (9)

DEFINICE: Obecným normálním rozdělením, stručně normálním rozdělením $\bf N(\mu,\sigma^2)$, nazýváme normální rozdělení se střední hodnotou $\bf\mu$, rozptylem $\bf\sigma^2$, hustotou

$$\bf f(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \: \: e^{-(x-\mu)... ...ma^2}= \frac{1}{\sigma}\: \: \varphi(\frac{x - \mu}{\sigma})$$ (10)

a distribuční funkci

$$\bf F(x)= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int \limits _{-\inf... ...{-(t-\mu)^2/ 2 \sigma^2}\: dt = \phi\;(\frac{x-\mu}{\sigma})$$ (11)

$\sigma$ je tzv. směrodatná odchylka. Má-li náhodná veličina normální rozdělení se známou střední hodnotou $\mu$ a směrodatnou odchylkou $\sigma$. Pak $\mu \pm \sigma$ určuje interval, ve kterém leží 68% měřených hodnot (základ pro zavedení střední kvadratické chyby měření), $\mu \pm 3\;\sigma$ určuje interval, ve které leží 99% měřených hodnot (základ pro určení krajní chyby měření).
Poznámka: Dostupné modely v systému FAMULUS 3.5
NORM1.FM: graf hustoty a distribuční funkce normálního rozdělení
NORM2.FM: kreslí grafy normálního rozdělení pro různé hodnoty směrodatné odchylky
MORM3.FM:kreslí grafy normálního rozdělení pro různé hodnoty střední hodnoty
NORM4.FM:zobrazuje interval spolehlivosti pro normální rozdělení

3.2 Studentovo rozdělení

Obrázek: Graf Studentova rozdělení

Obrázek: Srovnání normálního rozdělení (plná čára) se Studentovým rozdělením: trojúhelníky v=2; hvězdičky v=10; body v=20

Obrázek: Poissonovo rozdělení

DEFINICE: GAMA funkce $\bf\Gamma (a)=\int \limits _0^\infty{x^{a-1}\;e^{-x} \; dx}$, kde $\bf a>0$.

DEFINICE: STUDENTOVO rozdělení $\bf t_{n}$ má hustotu

$$\bf t_n(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n \pi}\; \Gamma(\frac{n}{2})} {(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}$$ (12)

Věta: Nechť $\bf x_1,...,x_n$ je výběr z normálního rozdělení $\bf N(\mu,\sigma^2)$. Pak náhodná veličina

$$\bf T=\frac{\hat{x}-\mu}{\hat{s}}$$ (13)

má Studentovo rozdělení $\bf t_{n-1}$.
Poznámka: Dostupné modely v systému FAMULUS 3.5
GAMA.FM: Graf gama funkce pro $x > 0$
GAMA1.FM: Graf gama funkce pro kladné i záporné hodnoty x
STUDENT.FM: Srovnání Studentova rozdělení s normálním rozdělením
STUDB.FM: Interval spolehlivosti pro Studentovo rozdělení

3.3 Poissonovo rozdělení

Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti má náhodná veličina, která vyjadřuje počet výskytů málo pravděpodobných, řídkých jevů v určitém časovém, resp. objemovém intervalu.
Například počet pulsů registrovaných GM-trubicí za zvolený časový interval.
Pravděpodobnostní funkce $p(x)$ je definována vztahem:

$$p(x, \lambda) = \frac{\lambda^x \: e^{- \lambda}}{x!},$$ (14)

kde $x$ diskrétní náhodná veličina, nabývající pouze celočíselných hodnot $0, 1, ....., k$ a $\lambda$ je parametr. Snadno lze dokázat, že střední hodnota $E(x) = \lambda$ a také rozptyl $D(x) = \lambda$. Parametr $\lambda$ charakterizuje jak polohu, tak i rozptýlení

3.4 Rovnoměrné neboli rektangulární rozdělení

Náhodná veličina $X$ má rovnoměrné rozdělení, jestliže má hustotu pravděpodobnosti

$$p(x) = \frac{1}{b-a} \; \; \; \; {\rm pro} \; \; \; x \in (... ...\ p(x) = 0 \; \; \; \; {\rm pro} \; \; {\rm ostatní} \; \;x$$ (15)

$$E(X) = \frac{a + b}{2}, \; \; \; \; D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}.$$ (16)

=rov.pic

;''