8 Určení chyby aritmetického průměru

8.1 Směrodatná odchylka aritmetického průměru

Pro aritmetický průměr $\hat{x}=\frac{\sum \limits_{i=1}^n x_i}{n}$ platí $\hat{s}_x=\sqrt{(\frac{1}{n})^2 \:s_{x_1}^2 \:+.....+\:(\frac{1}{n})^2 \: s_{x_n}^2}$.
Protože měření je prováděno za stejných podmínek je $s_{x_1} = s_{x_2} = ...... = s_x$.

$$\bf \hat{s}_x \: = \: \frac{s_x}{\sqrt n}$$ (44)

$$\bf \hat{s}_x=\sqrt{\frac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\hat{x}-x_... ...2 - \frac {1}{n} ( \sum \limits _{i=1}^{n} x_i)^2}{n (n-1)}}$$ (45)

POZNÁMKA: Většina kalkulaček má zabudovanou i statistiku, to znamená, že umožňuje výpočet aritmetického průměru a směrodatné odchylky jednoho měření, která bývá často značena jako $\sigma$. Podělíme-li směrodatnou odchylku jednoho měření odmocninou z počtu měření, dostaneme směrodatnou odchylku aritmetického průměru. Je však nutno dát pozor na to, že často kalkulačka umožňuje určit i veličinu většinou označenou $S < \sigma$, ze které směrodatnou odchylku aritmetického průměru získáme tak, že ji podělíme $\sqrt{n-1}$.

8.2 Interval spolehlivosti

Má-li měřená veličina normální rozdělení můžeme k výpočtu intervalu spolehlivosti využít následující věty.
Věta: Nechť $\bf x_1,...,x_n$ je výběr z normálního rozdělení $\bf N(\mu,\sigma^2)$. Pak náhodná veličina

$$\bf T=\frac{\hat{x}-\mu}{\hat{s}}$$ (46)

má Studentovo rozdělení $\bf t_{n-1}$. Velikost intervalu spolehlivosti je určena součinem směrodatné odchylky aritmetického průměru $\bf\hat{s}$ a Studentova koeficientu $\bf t_{p\;n-1}$, kde $n$ je počet měření a $p$ je míra jistoty. (Je-li například $p=0,68$, pak existuje 68% pravděpodobnost, že skutečná hodnota měřené veličiny leží v určeném intervalu).

$$\bf x \:=\:(\hat{x}\;{ \pm}\: t_{p\;n-1} \: \hat{s}),$$ (47)

kde

$$\bf p=\int \limits _{-t_{p\;n-1}}^{t_{p\;n-1}}{t_{n-1}(z)\; dz}.$$ (48)

$\bf t_{p\;n-1}$ je Studentův koeficient, $t_{n-1}(z)$ je Studentovo rozdělení pro $n-1$ stupňů volnosti.

Tabulka Studentových koeficientů:

P	0.050	0.100	0.200	0.500	0.683	0.900	0.954	0.980	0.990
v
1	0.079	0.158	0.325	1.000	1.839	6.314	13.815	31.821	63.657
2	0.071	0.142	0.289	0.816	1.322	2.920	4.500	6.965	9.925
3	0.068	0.137	0.277	0.765	1.198	2.353	3.292	4.541	5.841
4	0.067	0.134	0.271	0.741	1.142	2.132	2.858	3.747	4.604
5	0.066	0.132	0.267	0.727	1.111	2.015	2.640	3.365	4.032
6	0.065	0.131	0.265	0.718	1.091	1.943	2.508	3.143	3.707
7	0.065	0.130	0.263	0.711	1.077	1.895	2.421	2.998	3.499
8	0.065	0.130	0.262	0.706	1.067	1.860	2.359	2.896	3.355
9	0.064	0.129	0.261	0.703	1.059	1.833	2.313	2.821	3.250
10	0.064	0.129	0.260	0.700	1.053	1.812	2.277	2.764	3.169
11	0.064	0.129	0.260	0.697	1.048	1.796	2.249	2.718	3.106
12	0.064	0.128	0.259	0.695	1.044	1.782	2.225	2.681	3.055
13	0.064	0.128	0.259	0.694	1.041	1.771	2.206	2.650	3.012
14	0.064	0.128	0.258	0.692	1.038	1.761	2.189	2.624	2.977
15	0.064	0.128	0.258	0.691	1.035	1.753	2.175	2.602	2.947
16	0.064	0.128	0.258	0.690	1.033	1.746	2.163	2.583	2.921
17	0.064	0.128	0.257	0.689	1.031	1.740	2.153	2.567	2.898
18	0.064	0.127	0.257	0.688	1.029	1.734	2.143	2.552	2.878
19	0.064	0.127	0.257	0.688	1.028	1.729	2.135	2.539	2.861
20	0.063	0.127	0.257	0.687	1.026	1.725	2.128	2.528	2.845
21	0.063	0.127	0.257	0.686	1.025	1.721	2.121	2.518	2.831
22	0.063	0.127	0.256	0.686	1.024	1.717	2.115	2.508	2.819
23	0.063	0.127	0.256	0.685	1.023	1.714	2.109	2.500	2.807
24	0.063	0.127	0.256	0.685	1.022	1.711	2.104	2.492	2.797
25	0.063	0.127	0.256	0.684	1.021	1.708	2.100	2.485	2.787
26	0.063	0.127	0.256	0.684	1.020	1.706	2.096	2.479	2.779
27	0.063	0.127	0.256	0.684	1.020	1.703	2.092	2.473	2.771
28	0.063	0.127	0.256	0.683	1.019	1.701	2.088	2.467	2.763
29	0.063	0.127	0.256	0.683	1.018	1.699	2.085	2.462	2.756
30	0.063	0.127	0.256	0.683	1.018	1.697	2.082	2.457	2.750
31	0.063	0.127	0.256	0.682	1.017	1.696	2.079	2.453	2.744
32	0.063	0.127	0.255	0.682	1.017	1.694	2.076	2.449	2.738
33	0.063	0.127	0.255	0.682	1.016	1.692	2.074	2.445	2.733
34	0.063	0.127	0.255	0.682	1.016	1.691	2.071	2.441	2.728
35	0.063	0.127	0.255	0.682	1.015	1.690	2.069	2.438	2.724
36	0.063	0.127	0.255	0.681	1.015	1.688	2.067	2.434	2.719
37	0.063	0.127	0.255	0.681	1.014	1.687	2.065	2.431	2.715
38	0.063	0.127	0.255	0.681	1.014	1.686	2.063	2.429	2.712
39	0.063	0.126	0.255	0.681	1.014	1.685	2.061	2.426	2.708
40	0.063	0.126	0.255	0.681	1.013	1.684	2.059	2.423	2.704
41	0.063	0.126	0.255	0.681	1.013	1.683	2.058	2.421	2.701
42	0.063	0.126	0.255	0.680	1.013	1.682	2.056	2.418	2.698
43	0.063	0.126	0.255	0.680	1.012	1.681	2.055	2.416	2.695
44	0.063	0.126	0.255	0.680	1.012	1.680	2.053	2.414	2.692
45	0.063	0.126	0.255	0.680	1.012	1.679	2.052	2.412	2.690
46	0.063	0.126	0.255	0.680	1.012	1.679	2.051	2.410	2.687
47	0.063	0.126	0.255	0.680	1.011	1.678	2.050	2.408	2.685
48	0.063	0.126	0.255	0.680	1.011	1.677	2.049	2.407	2.682
49	0.063	0.126	0.255	0.680	1.011	1.677	2.047	2.405	2.680
50	0.063	0.126	0.255	0.679	1.011	1.676	2.046	2.403	2.678

Poznámka: Tabulka Studentových koeficientů byla vytvořena programem STUSTAB.FM v systému FAMULUS 3.5. Program využívá knihovnu STAT1.FML, která obsahuje funkci Tstud(1-p,v), která počítá Studentovy koeficienty. K určení Studentových koeficientů je možné využít také program EXCEL 5. Ten obsahuje funkci $TINV(1-p;v)$, která umožňuje počítat Studentovy koeficienty.

Příklad: Ukázka výpočtu chyby aritmetického průměru pro 10 měření výšky válečku:

Výška $v$	odchylka $\Delta$	$\Delta^2$
$mm$	$mm$	$mm^2$
4,6	-0,11	0,0121
4,5	-0,01	0,0001
4,7	-0,21	0,0441
4,4	0,09	0,0081
4,5	-0,01	0,0001
4,6	-0,11	0,0121
4,4	0,09	0,0081
4,4	0,09	0,0081
4,3	0,19	0,0361
4,5	-0,01	0,0001
44,9		0,129

$\hat{v}=\frac{\sum \limits_{i=1}^{n} v_i}{n} = 4,49; \:mm \: \: \: \: \:\: \: \... ...\hat{v}-v_i)^2}{n(n-1)}} = 0,038\: mm; \: \: \: \: \:t_{0,68 \: \: 9} = 1,059$
$v = (4.49 \pm 0.04) mm$

Příklad: Délka byla měřena 6 krát a výsledek měření je uveden takto: $d = (12.5 \pm 0.3)$ mm. S úrovní spolehlivosti 0,980. Zapište výsledek měření pro úroveň spolehlivosti 0,683.
$p = 0,983$, $n-1 = 5$, $0,3 = t_{p \: n-1} \: \hat s(d)$. Protože $t_{p \: n-1} = 3.365$ je $\hat s(d) = 0,3/3.365 = 0.089$ mm.
Pro $p=0.683$ je Studentův koeficient $t_{0.683 \: \: 5} = 1,111$.
Výsledek je možno napsat ve tvaru $d = (12,5 \pm 0,1)$ mm.