
\input emlines.tex

 %LaTex 31.10.1997
\newcommand{\car}{\rule{450pt}{1pt}}
%\def\obr#1#2#3#4{
%   \begin{figure}[htb] \par
%     \hbox{ \hskip #3  \vbox to #2 { \includegraphics{#1} \vfil     } }
%        \vspace{3mm}
%    \end{figure} }
%\documentstyle[czech,emlines]{article}
\documentclass{article}
\usepackage%[draft]
 {graphicx}
%\usepackage{emlines}
\usepackage{czech}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\renewcommand{\encodingdefault}{IL2}
\usepackage{hyperref}
%\documentstyle[emlines,11]{article}.emlines.sty
\textheight 25cm
\textwidth 17cm
%\pagestyle{empty}

\newcommand{\ingr}[2]
{\centerline{\includegraphics[#1, width=\textwidth, keepaspectratio=false]{#2}}}

\begin{document}
\oddsidemargin -1cm
\topmargin -3cm

\thispagestyle{empty}
\includegraphics[width=\textwidth]{obalka}

\newpage

\begin{center}
{\Huge  ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT}\\ [5 mm]
František Šťastný, 1997\\[3 mm]
\end{center}

\tableofcontents

\section{Jevy a~pravděpodobnost}

{\bf Základní předpoklad: } Každému jevu pozoro\-va\-ném při daném náhodném pokusu
náleží pra\-vdě\-po\-dob\-nost p z~intervalu $0 \leq p \leq 1$. Jistý jev
má pra\-vdě\-po\-dob\-nost 1, nemožný 0.\\
{\em \bf Opačný jev} k~jevu A~nastává tehdy a~jen tehdy, jestliže jev 
A~nenastal.\\[5mm]
VĚTA: {\bf Pravděpodobnost opačného jevu}:\\
Má-li daný jev pravděpodobnost p, pak pravdě\-po\-dob\-nost opačného jevu
je 1-p.\\[5mm]
VĚTA: {\bf Pravidlo o~sčítání pravděpodobností:}\\
Pravděpodobnost P, že nastane alespoň jeden z~konečně mnoha vzájemně se
vylučujících jevů o~pravděpodo\-bno\-stech $\bf p_1, p_2, \ldots$ je rovna součtu
těchto pravděpodobností,\\
$\bf P=p_1+p_2+ \ldots$ \\[5mm]
Poznámka: Pravidlo pro sčítání pravdě\-po\-dob\-ností je základem tzv. klasické
definice pra\-vdě\-po\-dob\-nosti:\\
Předpokládejme, že se opakovaně a~za stejných podmínek provádí náhodný
pokus, jehož výsledkem může být jistý náhodný jev. Připusťme, že bylo
provedeno $n$ pokusů a~jev nastal $m$ krát. Za pravděpodobnost považujeme
takové číslo $P$, pro které platí, že poměr $m/n$ se blíží tím víc k~číslu
$P$, čím je $n$ větší.\\[5mm]
VĚTA: {\bf Pravidlo pro násobení pravděpodobností}\\
Pravděpodobnost $P$, že zároveň nastane $n $ ne\-zá\-vis\-lých jevů o~pravděpodobnostech
$ \bf p_1, p_2, \ldots ,p_n$ je \\
$ \bf P=p_1 p_2 \ldots p_n$.

%-------------------------------
\section{Náhodná veličina}


DEFINICE: {\bf Zákon rozdělení náhodné veličiny} $x$ je zákon, který udává
pravděpodobnosti
jevů, které lze touto veličinou popsat, např. jevů $\bf x=x_a$ nebo
$x_a \leq x \leq x_b$ atd.\\[5mm]
DEFINICE: { \bf Diskrétní náhodné veličiny} jsou veličiny, které nabývají jen
konečně nebo
spočetně mnoha hodnot např. 0,1,2,... Jejich zákon rozdělení, \\který také
nazýváme diskrétním, je zcela po\-psán pravděpodobnostmi jednotlivých hodnot\\
$ \bf p_a=P\{x=x_a\}$.\\[5mm]
DEFINICE: {\bf Spojité náhodné veličiny} jsou veličiny, které mají tzv. spojitý
zákon
rozdělení, který je zcela po\-psán hustotou pravděpodobnosti nebo stručně jen
hustotou $ \bf f(x) \geq 0$, jejíž integrací dostaneme pravděpodobnost, že
náhodná ve\-li\-či\-na padne do intervalu $ \bf \langle x_a, x_b \rangle$:
\begin{equation}
 \bf P\{x_a \leq x \leq x_b \} = \int  \limits _{x_a} ^{x_b} f(x) \,dx.
 \end{equation}
Je-li $ \bf f(x)$ spojitá vyjadřuje $ \bf f(x)\, dx$ pra\-vdě\-po\-dob\-nost,
že náhodná veličina padne do intervalu $ \bf \langle x,x+dx \rangle$.\\[5mm]
%====================================
%-----------------------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=6cm}{d1}
 %\vspace*{6cm}
\caption{Graf rozdělení pravděpodobnosti pro diskrétní náhodnou veličinu }
    \end{figure}
%-----------------------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=6cm}{d2}
% \vspace*{6cm}
\caption{Graf distribuční funkce pro diskrétní náhodnou veličinu z~předcházejícího obrázku }
    \end{figure}
%====================================
DEFINICE: \\
{\bf Distribuční funkce} $ \bf F(x_b)$ náhodné veličiny $x$ je
funkcí, která udává
pro každé $ \bf x_b$  pra\-vdě\-po\-dob\-nost nerovnosti $ \bf x<x_b$.
Pro diskrétní
náhodné veličiny je $\bf F(x_b) = \sum \limits_{x_a<x_b} p_a$, kde
$ \bf p_a = P\{x=x_a\}, \: \:  \: -\infty < x_b < + \infty$.\\
Pro spojité náhodné veličiny je
$ \bf F(x_b)=\int \limits _{-\infty}^{x_b} f(x)\;dx$.
Pro spojité náhodné veličiny tedy platí
$ \bf \frac{d}{dx}F(x)= f(x)$.\\[5mm]
DEFINICE: { \bf Střední hodnota $ \mu = E(x) = \epsilon(x) = \bar{x}$}
diskrétní náhodné veličiny x je definována takto:
\begin{equation}
 \bf \mu = \sum \limits _{a} x_a \; p_a.
\end{equation}
Pro spojité náhodné veličiny :
\begin{equation}
\bf \mu = \int \limits _{-\infty}^{+\infty} x \; f(x) dx
\end{equation}
DEFINICE: {\bf  Rozptyl} diskrétní náhodné veličiny  je definován :
\begin{equation} \bf
D(x)=\sum \limits _{a}(x_a-\mu)^2 p_a = \sum \limits _{a} x_a^2 p_a - \mu^2
\end{equation}
Pro spojité náhodné veličiny
\begin{equation} \bf
D(x)= \int \limits_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 f(x) \; dx =
\int \limits _{-\infty}^{+\infty}x^2 f(x) \; dx -\mu^2,
\end{equation}
kde $ \bf \mu $ je střední hodnota.\\
{\bf Příklad:} Dokažte předcházející vztah:\\
$$\int \limits_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 f(x) \; dx =
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}x^2 f(x)\: dx -
2 \mu \int \limits_{-\infty}^{+\infty}x \:f(x)\: dx +
\mu^2 \int \limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \: dx=
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}x^2 f(x)\: dx - 2\: \mu^2 + \mu^2=$$
$$=\int \limits_{-\infty}^{+\infty}x^2 f(x)\: dx - \mu^2. \: \: \; \: \: \: \: \: \:
\int \limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \: dx = 1; \: \: \: \:
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}x \:f(x)\: dx = \mu
$$
Věta: Lineární funkce $\bf a~\; x + b$ náhodné veličiny $\bf x$ má tuto střední
hodnotu a~rozptyl:
\begin{equation} \bf
E(a \;x + b) = a~\; E(x) +b;\; \; \; \; \; \; D(a \; x + b) = a^2 D(x)
\end{equation}
Poznámka: Při analýze funkce náhodných veličin je třeba mít na paměti, že
každá nelineární transformace náhodné veličiny zkreslí její rozdělení a~změní
i~závislost rozptylu na střední hodnotě. I~v~případě, že má měřená veličina
$\bf x$ konstantní rozptyl $ \bf D(x)$ výsledky analýzy $\bf y=F(x)$ má již
rozptyl {\bf nekonstantní}, pro který  přibližně platí
\begin{equation} \bf
\sigma^2(y) = \bigl( \frac{dF(x)}{dx} \bigr) ^2 \sigma^2(x)
\end{equation}
Navíc platí, že střední hodnotu $\bf \bar{y}$ nelze určit přímo dosazením
$\bf \bar{x}$ do funkce $\bf F(x)$,
\begin{equation} \bf
\bar{y} \neq F(\bar{x})
\end{equation}
%-------------------------------------------
%-----------------------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=5cm}{s1}
% \vspace*{5cm}
\caption{Hustota pravděpodobnosti pro spojitou náhodnou veličinu }
    \end{figure}
%-----------------------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=5cm}{s2}
% \vspace*{5cm}
\caption{Distribuční funkce pro spojitou náhodnou veličinu z~předcházejícího obrázku }
    \end{figure}
%===========================================================================


\section{Vybrané typy rozdělení}

\subsection{Normální rozdělění}
%------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=10cm}{rsigma}
% \vspace*{10cm}
\caption{Graf normálního rozdělení pro různé hodnoty $\sigma$    }
    \end{figure}
%---------------------------------------------------------------------
Normální rozdělení (Gaussovo rozdělení) je nejznámější model rozdělení
spojité náhodné veličiny,
používaný v~technické praxi. Při opakovaném měření téže veličiny za stejných
podmínek způsobují náhodné, nekontrolovatelné vlivy odchylky od skutečné
měřené veličiny\\
DEFINICE: Normovaným normálním rozdělením na\-zý\-vá\-me normální rozdělení,
které má
střední hodnotu 0 a~rozptyl 1. Jeho hustota $ \varphi(x)$ a~distribuční
funkce $ \phi$(x) jsou
\begin{equation} \bf
\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\: \;e^{-x^2/2} \: \: \: \:
\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits _{-\infty}^{x}e^{-t^2/2}\; dt.
\end{equation}
%--------------------------------------------------------------------
DEFINICE: Obecným normálním rozdělením, stručně normálním rozdělením
$\bf N(\mu,\sigma^2)$, nazýváme normální rozdělení se střední hodnotou
$\bf \mu$, rozptylem $\bf \sigma^2$, hustotou
\begin{equation} \bf
f(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \: \: e^{-(x-\mu)^2 /2 \sigma^2}=
\frac{1}{\sigma}\: \: \varphi(\frac{x - \mu}{\sigma})
\end{equation}
a~distribuční funkci
\begin{equation} \bf
F(x)= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int \limits _{-\infty}^{x}e^{-(t-\mu)^2/
2 \sigma^2}\: dt = \phi\;(\frac{x-\mu}{\sigma})
\end{equation}
$\sigma$ je tzv. {\bf směrodatná odchylka.}


Má-li náhodná veličina normální  rozdělení se známou střední hodnotou
$\mu$ a~směrodatnou odchylkou $\sigma$. Pak $\mu \pm \sigma$ určuje interval,
ve kterém leží 68\% měřených hodnot (základ pro zavedení střední kvadratické
chyby měření),
$\mu \pm 3\;\sigma$ určuje interval,
ve které leží 99\% měřených hodnot (základ pro určení krajní chyby měření).\\[2 mm]
{\bf Poznámka:} Dostupné modely v~systému FAMULUS 3.5\\
NORM1.FM: graf hustoty a~distribuční funkce normálního rozdělení\\
NORM2.FM: kreslí grafy normálního rozdělení pro různé hodnoty směrodatné
odchylky\\
MORM3.FM:kreslí grafy normálního rozdělení pro různé hodnoty střední hodnoty\\
NORM4.FM:zobrazuje interval spolehlivosti pro normální rozdělení

\subsection{Studentovo rozdělení}
%.........................................................................
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=10cm}{stud}
% \vspace*{10cm}
\caption{Graf Studentova rozdělení     }
    \end{figure}
%====================================
%.........................................................................
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=10cm}{srovnani}
% \vspace*{10cm}
\caption{Srovnání normálního rozdělení (plná čára) se Studentovým rozdělením:
trojúhelníky v=2; hvězdičky v=10; body v=20}
    \end{figure}
%====================================
%--------------------------------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=10cm}{poisson}
% \vspace*{10cm}
\caption{Poissonovo rozdělení}
    \end{figure}
%--------------------------------------------------
DEFINICE: {\bf GAMA funkce}
$ \bf \Gamma (a)=\int \limits _0^\infty{x^{a-1}\;e^{-x} \; dx}$,
kde $\bf a>0$.\\[5mm]
DEFINICE: {\bf STUDENTOVO rozdělení} $\bf t_{n}$ má hustotu
\begin{equation} \bf
t_n(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n \pi}\; \Gamma(\frac{n}{2})}
{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}
\end{equation}\\[5mm]
Věta: Nechť $ \bf x_1,...,x_n$ je výběr z~normálního rozdělení
$\bf N(\mu,\sigma ^2)$. Pak náhodná veličina
\begin{equation} \bf
T=\frac{\hat{x}-\mu}{\hat{s}}
\end{equation}
má Studentovo rozdělení $\bf t_{n-1}$.\\[2 mm]
{\bf Poznámka:} Dostupné modely v~systému FAMULUS 3.5\\
GAMA.FM: Graf gama funkce pro $x > 0$\\
GAMA1.FM: Graf gama funkce pro kladné i~záporné hodnoty x\\
STUDENT.FM: Srovnání Studentova rozdělení s~normálním rozdělením\\
STUDB.FM: Interval spolehlivosti pro Studentovo rozdělení\\

\subsection{Poissonovo rozdělení}

Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti má náhodná veličina, která vyjadřuje
počet výskytů málo pravděpodobných, řídkých jevů v~určitém časovém, resp.
objemovém intervalu. \\
Například počet pulsů registrovaných GM-trubicí za zvolený časový interval.\\
Pravděpodobnostní funkce $p(x)$ je definována vztahem:
\begin{equation}
p(x, \lambda) = \frac{\lambda^x \: e^{- \lambda}}{x!},
\end{equation}
kde $x$ diskrétní náhodná veličina, nabývající pouze celočíselných hodnot
$0, 1, ....., k$ a~$\lambda$ je parametr. Snadno lze dokázat, že střední
hodnota $E(x) = \lambda$ a~také rozptyl $D(x) = \lambda$. Parametr $\lambda$
charakterizuje jak polohu, tak i~rozptýlení


\subsection{Rovnoměrné neboli rektangulární rozdělení}

Náhodná veličina $X$ má rovnoměrné rozdělení, jestliže má hustotu pravděpodobnosti
\begin{equation}
p(x) = \frac{1}{b-a} \; \; \; \; {\rm pro} \; \; \; x \in (a, b), \\
p(x) = 0 \; \; \; \; {\rm pro} \; \; {\rm ostatní} \; \;x
\end{equation}
\begin{equation}
E(X) = \frac{a + b}{2}, \; \; \; \; D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}.
\end{equation}
\input rov.pic\\
%========================================================================

\section{Náhodné vektory}

Další podrobnosti o~nahodných vektorech naleznete například  v~[14].
Zde uvedeme jen základní definice.

\subsection{Popis rozložení náhodného vektoru}

Nechť $X_1, \ldots ,X_n$ jsou náhodné veličiny, $\Phi_1, \ldots ,\Phi_n$ jejich
distribuční funkce (resp. $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ hustoty
pravděpodobnosti ve spojitém případě resp. $\pi_1, \ldots \pi_n$ pravděpodobnostní
funkce v~diskrétním případě).\\
{\bf Náhodný vektor} je uspořádaná n-tice $X = (X_1, \ldots ,X_n)$.
Jeho distribuční funkci definujeme vztahem:
\begin{equation}
\forall \;  (x_1, \ldots ,x_n) \in R^n : \Phi (x_1, \ldots ,x_n) =
P(X_1 \leq x_1 \cap \ldots \cap X_n \leq x_n).
\end{equation}
$\Phi(x_1, \ldots ,x_n)$ má anlogické vlastnosti jako distribuční funkce
skalární náhodné veličiny: speciálně je neklesající a~zprava spojitá
vzhledem ke každé jednotlivé proměnné, dale
\begin{equation}
\lim_{x_1 \to \infty, \ldots ,x_n \to \infty } \Phi_1(x_1, \ldots ,x_n) = 1
\end{equation}
\begin{equation}
\forall \;  i~\in (1, \ldots ,n):
\lim_{x_i \to - \infty} \Phi_1(x_1, \ldots ,x_n) = 0
\end{equation}
\begin{equation}
\forall \;  i~\in (1, \ldots ,n):
\lim_{x_1 \to \infty,  \ldots ,x_{i-1} \to \infty,
x_{i+1} \to \infty, \ldots ,  x_{n \to \infty}}
\Phi_1(x_1, \ldots ,x_n) = \Phi_i(x_i)
\end{equation}
$\Phi_i(x_i)$ se v~této souvislosti nazývá {\bf marginální distribuční funkce}
náhodné veličiny $X_i$ a~$\Phi(x_1, \ldots ,x_n)$ se nazývá {\bf simultánní
distribuční funkce} náhodné vekoru X.

\subsection{Diskrétní náhodný vektor}

Náhodný vektor $X = (X_1, \ldots ,X_n)$ se nazývá diskrétní, právě když
existuje funkce $\pi (x_1, \ldots ,x_n)$, která je nulová v~$R^n$ s~výjimkou
nejméně jednoho a~nejvýše spočetně mnoha bodů, kde je kladná\\
(pro všechna $(x_1, \ldots ,x_n) \in R^n$:
$\pi (x_1, \ldots ,x_n) \geq 0$),
je normovaná \\($\sum \limits _{x_1 = - \infty}^\infty \ldots
\sum \limits _{x_n = - \infty}^\infty \pi(x_1, \ldots ,x_n) = 1 $)
a~platí pro ni:
\begin{equation}
\forall \;  (x_1, \ldots ,x_n) \in R^n : \Phi (x_1, \ldots ,x_n) =
\sum_{t_1 \leq x_1} \ldots \sum_{t_n \leq x_n} \pi(t_1, \ldots ,t_n).
\end{equation}
Funkce $\pi (x_1, \ldots ,x_n)$ se nazývá {\bf pravděpodobnostní funkce }
diskrétního náhodného vektoru $X$.\\
Pro pravděpodobnostní funkci dále platí:
\begin{equation}
\forall \;  (x_1, \ldots ,x_n) \in R^n : \pi (x_1, \ldots ,x_n) =
P(X_1=x_1  \wedge \ldots \wedge X_n = x_n)
\end{equation}
\begin{equation}
\forall \;  i~\in (1, \ldots ,n):
\sum_{x_1 \in R} \ldots \sum_{x_{i-1} \in R}  \; \;\sum_{x_{i+1} \in R}
\ldots \sum_{x_n \in R} \pi(x_i, \ldots ,x_n) = \pi_i(x_i).
\end{equation}
$\pi_i(x_i)$  se nazývá {\bf marginální pravděpodobnostní funkce }
náhodné veličiny $X_i$ a~$\pi (x_1, \ldots ,x_n)$
{\bf simultánní pravděpodobnostní funkce} náhodného vektoru $X$.


Pravděpodobnost, že náhodný vektor $X = (X_1, \ldots ,X_n)$ se bude
realizovat v~oblasti $B \subseteq R^n$, se vypočte podle vzorce
\begin{equation}
P(X \in B) =
\sum_{(x_1, \ldots ,x_b)} ... \sum_{\in \; B}
\pi(x_1, \ldots ,x_n).
\end{equation}
%........................................

\subsection{Spojitý náhodný vektor}

Náhodný vektor $X = (X_1, \ldots ,X_n)$ se nazývá spojitý, právě když existuje
po částech spojitá nezáporná funkce $\varphi(x_1, \ldots x_n)$
(vlastnost S1: pro všechna $(x_1, \ldots x_n) \in R^n$:
$\varphi(x_1, \ldots ,x_n) \geq 0)$, která je normovaná\\
(vlastnost S2: $\int \limits _{-\infty}^\infty \ldots \int \limits _{-\infty}^\infty
\varphi(t_1, \ldots ,t_n)\; dt_1 \ldots dt_n = 1)$ \\
a~platí pro ni
\begin{equation}
\forall \;  (x_1, \ldots ,x_n) \in R^n : \Phi (x_1, \ldots ,x_n) =
\int\limits_{-\infty}^{x_1} \ldots \int\limits_{-\infty}^{x_n} \varphi(t_1, \ldots ,t_n)
\; dt_1 \ldots dt_n.
\end{equation}
Funkce $\varphi (x_1, \ldots , x_n)$ se nazývá {\bf hustota pravděpodobnosti}
spojitého náhodného vektoru $X$.


Pro hustotu pravděpodobnosti dále platí:
\begin{equation}
\varphi(x_1, \ldots ,x_n) = \frac{\partial \Phi(x_1, \ldots ,x_n)}
{\partial x_1 \ldots \partial x_n}
\end{equation}
ve všech bodech spojitosti funkce $\varphi(x_1, \ldots ,x_n)$.
\begin{equation}
\forall \;  i~\in (1, \ldots ,n) :
\int\limits_{-\infty}^{\infty} \ldots \int\limits_{-\infty}^{\infty}
\int\limits_{-\infty}^{\infty} \ldots \int\limits_{-\infty}^{\infty}
\varphi(x_1, \ldots ,x_n)\; dx_1 \ldots dx_{i-1}dx_{i+1} \ldots dx_n
=\varphi_i(x_i).
\end{equation}


$\varphi_i(x_i)$ se nazývá {marginální hustota} náhodné veličiny $X_i$
a~$\varphi(x_1, \ldots , x_n)$ {simultánní hustota} náhodného vektoru $X$.


Pravděpodobnost, že náhodný vektor $X =((X_1, \ldots , X_n)$ se bude ralizovat
v~oblasti $B \subseteq R^n$, se vypočte podle vzorce
\begin{equation}
P(X \in) = \int\limits _B \ldots \int\varphi(x_1, \ldots ,x_n) \;
dx_1 \ldots dx_n,
\end{equation}
pokud integrál vpravo existuje. \\ [5 mm]
{\bf Příklad}: Nezávisle na sobě hodíme dvěma kostkami. Náhodná veličina $X_1$
udává počet ok, která padla na první kostce a~náhodná veličina $X_2$
udává maximum z~počtu ok, která padla na obou kostkách.
Najděte simultánní pravděpodobnostní funkci $\pi(x_1,x_2)$ 
a~obě marginální pravděpodobnostní funkce $\pi_1(x_1)$ a~$\pi_2(x_2)$.\\ [3 mm]
\centerline{\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l||l|} \hline
$\pi(1,1)=1/36$ &$\pi(1,2)=1/36$ &$\pi(1,3)=1/36$ &
$\pi(1,4)=1/36$ &$\pi(1,5)=1/36$ &$\pi(1,6)=1/36$ & $\pi_1(1)=1/6$ \\ \hline
$\pi(2,1)=0$ &$\pi(2,2)=2/36$ &$\pi(2,3)=1/36$ &
$\pi(2,4)=1/36$ &$\pi(2,5)=1/36$ &$\pi(2,6)=1/36$ & $\pi_1(2)=1/6$ \\ \hline
$\pi(3,1)=0$ &$\pi(3,2)=0$ &$\pi(3,3)=3/36$ &
$\pi(3,4)=1/36$ &$\pi(3,5)=1/36$ &$\pi(3,6)=1/36$ & $\pi_1(3)=1/6$ \\ \hline
$\pi(4,1)=0$ &$\pi(4,2)=0$ &$\pi(4,3)=0$ &
$\pi(4,4)=4/36$ &$\pi(4,5)=1/36$ &$\pi(4,6)=1/36$ & $\pi_1(4)=1/6$ \\ \hline
$\pi(5,1)=0$ &$\pi(5,2)=0$ &$\pi(5,3)=0$ &
$\pi(5,4)=0$ &$\pi(5,5)=5/36$ &$\pi(5,6)=1/36$    & $\pi_1(5)=1/6$ \\ \hline
$\pi(6,1)=0$ &$\pi(6,2)=0$ &$\pi(6,3)=0$ &
$\pi(6,4)=0$ &$\pi(6,5)=0$ &$\pi(6,6)=6/36$       & $\pi_1(6)=1/6$ \\
\hline \hline
$\pi_2(1)=1/36$ & $\pi_2(2)=3/36$ & $\pi_2(3)=5/36$ &
$\pi_2(4)=7/36$   & $\pi_2(5)=9/36$ & $\pi_2(6)=11/36$ & \\
\hline
\end{tabular}} \\ [5 mm]
{\bf Příklad} Nechť je dán systém složený ze dvou bloků.
Pravděpodobnost, že i-tý blok správně funguje je $\theta_i$,
$0 < \theta_i < 1$ pro $i = 1, 2$ a~pravděpodobnost, že správně
fungují oba bloky je $\theta_{12}$, $0 < \theta_{12} < 1$. Nechť
náhodná veličina $X_i$ je ukazatel fungování i-tého bloku, i=1,2.
Vyjádřete pravděpodobnostní funkci $\pi(x_1,x_2)$ náhodněho vektoru
$(X_1,X_2)$ a~obě marginální pravděpodobnostní funkce $\pi_1(x_1)$ 
a~$\pi_2(x_2)$.\\ [3 mm]
\centerline{\begin{tabular}{|l|l||l|} \hline
$\pi(0,0)=1 - \theta_1 - \theta_2 + \theta_{12}$ &
$\pi(0,1) = \theta_2 - \theta_{12}$ & $\pi_1(0) = 1-\theta_1$ \\
\hline
$\pi(1,0)=1 - \theta_1 -  \theta_{12}$ &
$\pi(1,1) =  \theta_{12}$ & $\pi_1(1) = \theta_1$ \\
\hline \hline
$\pi_2(0)=1 - \theta_2$ &  $\pi_2(1)= \theta_2$ & \\
\hline
\end{tabular}}
%========================================================================

 \section{Chyby}

 \subsection{Klasifikace chyb}

Chyby měření podle {\bf místa vzniku} dělíme do čtyř základních skupin:
\begin{enumerate}
\item {\bf Instrumentální chyby}\\
Jsou způsobeny konstrukcí měřícího přístroje a~určují jeho kvalitu. U~řady
přístrojů jsou známy a~garantovány výrobcem.
\item {\bf Metodické chyby}\\
Souvisejí s~použitou metodikou stanovení výsledků měření, jako je odečítání dat,
organizace měření, eliminace vnějších vlivů atd.
\item {\bf Teoretické chyby}\\
Souvisí s~použitým postupem měření. Jde zejména o~principy měření,
fyzikální modely měření, použité parametry atd.
\item {\bf Chyby zpracování dat}\\
Jde o~chyby numerické metody a~chyby způsobené užitím nevhodných metod
statistického vyhodnocení.
\end{enumerate}
Podle {\bf původu} (příčiny vzniku) můžeme chyby měření rozdělit do tří skupin.
\begin{enumerate}
\item {\bf Chyby hrubé - omyly}\\
Vznikají buď přehlédnutím při měření nebo použitím vadného měřícího
přístroje. Kontrolou se dají poměrně snadno odhalit a~jejich vliv na
měření je možné vyloučit.
\item {\bf Chyby soustavné - systematické}\\
Jsou způsobeny neustále stejnou příčinou. Navenek se většinou projevují tak,
že při mnohonásobném opakování téhož měření je naměřená hodnota soustavně
vyšší nebo nižší, než skutečná hodnota. Systematické chyby je možné
zdokonalením měřící metody a~použitím nezávislých měřících metod
zcela omezit. Lze je rozdělit do 4 skupin.
\begin{itemize}
\item chyby metody
\item chyby metody vyhodnocení
\item chybné stanovení podmínek měření
\item chyby přístrojů
\end{itemize}


Systematické chyby měřících přístrojů se dělí na {\bf aditivní} (chyba nastavení
nulové hodnoty)  a~{\bf multiplikativní} (chyba citlivosti). Typ a~velikost
chyby přístroje bývají garantovány výrobcem.
\item {\bf Chyby nahodilé}\\
Nejeví známky pravidelnosti, nedaří se objevit jejich příčiny, ani
odstranit jejich vliv na měření. Přestože tyto chyby není možné odstranit,
je možné je metodami matematické statistiky popsat a~určit jejich
vliv na přesnost měřeních.
Působením nahodilých chyb se samotná měřená veličina stává nahodilou veličinou.


Výsledkem opakovaného měření této veličiny je řada hodnot
$x_1, x_2, \ldots , x_n$. Takto získané hodnoty jsou {\bf náhodným výběrem}
z~tak zvaného {\bf základního souboru}.
\end{enumerate}

\subsection{Zavedení pojmu chyba}

V~literatuře se setkáme s~různým způsobem zavedením pojmu chyba
měření, což začátečníkům komplikuje orientaci v~problematice.
Často se chyba měření $\delta(x)$ definuje jako odchylka výsledku měření
$x'$ od skutečné hodnoty měřené veličiny $x$ tj. $\delta(x) = x - x'$.
Definice je sice názorná, ale přesně vzato, je takováto chyba v~praxi
použitelná jen v~případě, že provádíme měření na standardu a~známe,
skutečnou hodnotu měřené veličiny.


V~$[6]$  je chyba zavedena takto: Výsledkem každého měření je náhodná
veličina, která obsahuje kromě informace také šum, tj. chyby měření.
Velikost chyby měření je kritériem  kvality procesu měření nebo měřícího
přístroje.


Častěji se setkáváme se "statistickou definicí" chyby měření
Je-li x' výsledek měření a~$\delta(x)$ je chyba tohoto měření odpovídající
míře jistoty $p$, pak skutečná hodnota měřené veličiny leží s~pravděpodobností
$p$ v~intervalu x' $\pm \;\delta(x)$.


Ve fyzice bývá zvykem volit buď $p=0,68$ a~pak mluvíme o~střední kvadratické
chybě nebo $p=0,99$ a~pak mluvíme o~krajní chybě měření.


V~technické praxi se často setkáme s~tím, že z~manuálu přístroje není
zřejmé jaké
hodnotě $p$, uvedená chyba odpovídá. Většinou však má výrobce na mysli
chybu krajní. V~praxi je také velice obtížné rozlišit systematickou 
a~nahodilou složku chyb přístrojů.
%@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

\subsection{Chyba v~ČSN normách}

Například v~ČSN 35 6505 ze dne 9.4. 1975 je uvedeno:\\[2 mm]
{\bf Chyba} - číselně vyjádřený  rozdíl mezi údajem přístroje a~skutečnou
hodnotou měřené veličiny. U~přístrojů, které jsou zdrojem elektrické
veličiny, je chyba rozdíl mezi skutečnou a~jmenovitou, indikovanou
a~nastavenou hodnotou.\\
{\it Poznámka:}\\
1. Skutečná hodnota je hodnota, která se zjistí při měření bez chyb.\\
2. Protože se v~praxi  skutečná hodnota nedá určit měřením, používá se
místo skutečné hodnoty smluvená skutečná hodnota, která se skutečné
hodnotě blíží (s~ohledem na chybu, která se má určovat). Tuto hodnotu
lze získat navázáním na národní etalon.\\[2 mm]
{\bf Absolutní chyba} - chyba vyjádřená  číselně v~jednotkách měřené nebo
vytvářené veličiny.\\[2 mm]
{\bf Poměrná chyba (relativní)} - poměr absolutní chyby ke skutečné hodnotě
měřené veličiny.\\[2 mm]
{\bf Chyba vyjádřená v~procentech} - poměr  absolutní chyby ke skutečné hodnotě,
vyjádřené v~procentech.\\[2 mm]
{\bf Vztažná hodnota} - hodnota, ke které se vztahuje chyba vyjádřená
v~procentech.\\[2 mm]
{\bf Základní chyba} - chyba stanovená v~referenčních podmínkách.\\[2 mm]
{\bf Přídavná chyba} - chyba stanovená v~podmínkách, kdy jedna  z~ovlivňujících
veličin zaujímá libovolnou hodnotu v~mezích jmenovitého rozsahu používání,
přičemž všechny ostatní ovlivňující veličiny se nacházejí v~referenčních
podmínkách.\\
{\it Poznámky:}\\
1. Při udávání přídavné chyby se základní chyba neuvažuje\\
2. Použije-li se pro vyjádření přídavné chyby tohoto výrazu ve jmenovitých
poracovních podmínkách, zahrnuje se do této chyby i~základní chyba.\\[2 mm]
{\bf Chyba stálosti (stabilita)} - chyba v~indikované hodnotě nebo hodnotě
vytvářené přístrojem během stanovené doby, přičemž ostatní podmínky se
nemění.\\[2 mm]
{\bf Meze chyb} - maximální hodnoty chyb uvedené výrobcem pro jakýkoliv parametr
přístroje  ve stanovených podmínkách (referenčních, jmenovitých,
pracovních apod.)\\[2 mm]
{\bf Naměřená hodnota} - údaj odečtený na přístroji; je uváděn jako součin
číselné hodnoty a~jednotky měřené veličiny.\\[2 mm]
{\bf Referenční podmínky} - souhrn podmínek nebo rozsahů pro parametry a~ovlivňující
veličiny, při kterých údaj přístroje splňuje  ustanovení o~dovolených chybách,
při kterých se u~přístroje ověřuje základní chyba nebo se přístroje
nastavují.\\[2 mm]
{\bf Jmenovitý rozsah použití} - rozsah hodnot ovlivňujících veličin, ve
kterém přístroj splňuje požadavky na chyby ve jmenovitých pracovních
podmínkách.\\[2 mm]
{\bf Jmenovité pracovní podmínky} - souhrn pracovních hodnot, rozsahů, parametrů
a~ovlivňujících veličin, v~jejíchž rozmezí jsou udány technické vlastnosti
přístroje.\\[2 mm]
{\bf Doba náběhu přístroje} - doba  po zapnutí přístroje potřebná k~tomu, aby
přístroj dosáhl vlastností udávaných výrobcem.\\[3 mm]
{\bf Chyby měření} se uvádějí číselnými hodnotami:\\
\begin{itemize}
\item a) meze základní chyby
\item b) meze chyb ve jmenovitých pracovních podmínkách,
včetně chyb způsobených vlivy a~variacemi podle úvahy výrobce.
(Nejsou-li uvedeny chyby ve jmenovitých pracovních podmínkách, jsou rovny
základní chybě.)
\item c) meze chyb měření. Tyto lze udávat i~při libovolných velikostech
ovlivňujících veličin v~mezích jmenovitého rozsahu používání.
\end{itemize}
{\bf Vyjadřování chyb}\\
Chyba přístroje se musí vyjádřit jedním z~těchto způsobů:
\begin{itemize}
\item a) v~procentech nebo poměrných hodnotách vztažených ke skutečné
hodnotě měřené veličiny (pro přístroje s~přímým odečítání)
\item b) v~procentech nejvyšší hodnoty pracovní části stupnice (pro
přístroje s~jednostrannou stupnicí a~stupnicí bez nuly)
\item c) v~procentech součtu absolutních nejvyšších hodnot pracovní části
stupnice (pro přístroje s~dvoustrannou stupnicí)
\item d) v~procentech délkového rozdílu mezi nejvyšší a~nejnižší hodnotou
pracovního úseku stupnice (pro přístroje s~logaritmickou a~hyperbolickou
stupnicí a~s~exponenciální  stupnicí s~exponentem větším než 3)
\item e) jako součet dvou hodnot, z~nichž jedna závisí na měřené veličině 
a~druhá má stálou hodnotu.
\item f) v~absolutních hodnotách měřené veličiny  pro přístroje
s~přímým čtením (ve stupních, watech, hertzech apod.)
\item g) v~logaritmických jednotkách
\end{itemize}
{\it Poznámka:}\\
1. Chyba měření číslicových přístrojů se vyjadřuje jedním z~výše
uvedených způsobů s~přičtením chyby číslicového údaje v~absolutní hodnotě
nebo v~jednotkách nejnižšího   řádu údaje.\\
2. Meze chyb u~přístrojů s~víc rozsahy nebo stupnicemi mohou být pro různé
rozsahy nebo nejvyšší hodnoty pracovní části každé stupnice různé.






%@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

\subsection{Rozlišení systematické a~nahodilé složky chyb}

Pokud provádíme měření na standardu se známou hodnotou $\mu$, je možné při
každém opakovaném měření $x_i, i=1, ..., n$ stanovit  celkovou chybu měření
podle vztahu $\Delta_i = x_i - \mu$. Pokud nejsou v~datech hrubé chyby,
je průměrná hodnota chyby měření
$\bar{\Delta} = \frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n}\Delta _i$ odhadem její
systematické složky a~rozdíl $\bar{\Delta} - \Delta_i$ je odhadem náhodné
složky chyby měření. Kromě průměrné chyby $\hat{\Delta}$ se používá
střední kvadratická chyba definovaná vztahem
$\sigma_\Delta = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum \limits_{i=1}^{n} \Delta^2_i}$.
Pokud je $\bar{\Delta} \doteq 0$, považuje se $\sigma_\Delta$ za průměrnou náhodnou
chybu měření.
Systematické a~náhodné chyby souvisejí s~pojmy přesnost a~správnost měřících
přístrojů:


{\bf Přesnost přístroje} je definována jako rozmezí statistické nejistoty
výsledků. Souvisí s~náhodnými chybami a~odpovídá reprodukovatelnosti měření.
Vyjadřuje se jako rozptyl kolem střední hodnoty n-tice naměřených výsledků.


{\bf Správnost přístrojů} udává průměrnou vzdálenost výsledků měření od
skutečné hodnoty a~souvisí se systematickými chybami. Odpovídá odchýlení
průměrné hodnoty výsledku měření od teoretické hodnoty.


Zatímco přesnost lze odhadnout na základě statistické analýzy opakovaných měření,
správnost je nutno stavovat s~využitím standardů nebo více přístrojů.
Názorně je to vidět na následujícím obrázku:\\[2 mm]
\input opakovan.pic
%---------------------------------------------------------

\section{Výběrový rozptyl}

V~praxi většinou neznáme rozdělení náhodné veličiny, kterou zkoumáme.
V~jednodušších případech známe alespoň typ rozdělení a~zbývá určit jen
parametry, které je charakterizují. Například při zkoumání nahodilých
chyb ve fyzice většinou předpokládáme, že zkoumaná veličina má normální
rozdělení a~provádíme statistický odhad střední hodnoty a~rozptylu.
Při tom postupujeme tak, že opakovaným měřením za týchž podmínek získáme
náhodný výběr hodnot $x_1, x_2,...,x_n$ z~možných výsledků měření.


Aritmetický průměr:
\begin{equation}
 \bf
\hat{x}=\frac{\sum \limits_{i=1}^{n}x_i}{n}
\end{equation}
Výběrový rozptyl okolo střední hodnoty:
\begin{equation}
\bf
D=\frac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\epsilon(x)-x_i)^2}{n}
\end{equation}
%------------------------------------------------------
{\bf Určení rozptylu D (vyloučení střední hodnoty, kterou neznáme):}\\
Protože neznáme $\epsilon(x)$ postupujeme takto: označíme
$\bf \epsilon_i=x_i-\epsilon(x)$ 
a~$\bf \Delta_i=x_i-\hat{x}$.\\
Vzájemným odečtením obou posledních rovnic dostaneme
$ \bf \epsilon_i-\Delta_i=\hat{x}-\epsilon(x)$.\\
Sečtením přes všechna {\bf i} dostaneme
$$ \bf
\sum \limits_{i=1}^{n}{\epsilon_i}-\sum_{i=1}^{n}{\Delta_i}=
                                      n(\hat{x}-\epsilon(x))
$$
Protože platí $\sum \limits_{i=1}^{n}{\Delta_i}=0$ je možné poslední
   rovnici upravit takto
$$ \bf
\Delta_k=\epsilon_k-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\epsilon_i
$$
Umocněním poslední rovnice a~sečtením přes všechna k~dostaneme
$$\bf \sum_{k=1}^{n}\Delta_k^2=\sum_{k=1}^{n}\epsilon_k^2-\frac{1}{n}
   (\sum_{k=1}^{n}\epsilon_k^2+2\sum_{i>k}^{n}\epsilon_i\epsilon_k)$$
Zanedbáme-li v~závorce výraz s~$\epsilon_i \epsilon_k$,
v~němž sčítáme jak kladná,
tak záporná čísla, dostaneme vztah pro výběrový rozptyl
\begin{equation} \bf
D=\frac{\sum \limits _{i=1}^{n}(\hat{x}-x_i)^2}{n-1}
\end{equation}
Častěji než rozptyl se používá standardní (směrodatná) odchylka 
s~jednoho měření
\begin{equation} \bf
s=\sqrt{D}=\sqrt{\frac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\hat{x}-x_i)^2}{n-1}}
\end{equation}

\section{Chyba nepřímo měřené veličiny}

Při vlastním měření přestavuje měřená veličina $x_i$ zřídka požadovaný
výsledek měření. Většinou je nutno naměřit
veličiny $\bf x_1,x_2,...,x_m$ 
a~výslednou veličinu $\bf y$ vypočítat ze vztahu $\bf y = f(x_1, x_2,....x_m)$.
K~odhadu střední hodnoty hledané veličiny a~rozptylu lze použít:
\begin{itemize}
\item metody Taylorova rozvoje funkce $\bf y = f(x_1, x_2,....,x_m)$
\item metody dvoubodové aproximace
\item metody simulačního výpočtu Monte Carlo
\end{itemize}
Při běžných měřeních ve fyzice se nejvíce používá metoda Taylorova rozvoje.
Metoda dvoubodové aproximace je založena na náhradě rozdělení pravděpodobnosti
funkce $\bf y = f(x_1, x_2,....x_m)$ dvoubodovým rozdělením se stejnou střední
hodnotou a~rozptylem $[6]$.
\begin{equation} \bf
\hat{y} = \sum \limits_{i=1}^{m}\frac{f(\hat{x}_i + \hat{s}_{x_i})
+ f(\hat{x}_i - \hat{s}_{x_i})}{2 \: m}; \: \: \: \: \: \: \:
s^2_y = \sum \limits_{i=1}^{m}\frac{[f(\hat{x}_i + \hat{s}_{x_i})
- f(\hat{x}_i - \hat{s}_{x_i})]^2}{4 \: m}
\end{equation}
Metoda Monte Carlo je počítačově orientovaná metoda vycházející z~techniky
simulace experimentů metodou Monte Carlo $[6]$.
%===================================================================

\subsection{Metoda Taylorova rozvoje funkce - zákon přenosu chyb}

\subsubsection{Taylorův rozvoj funkce}

Podle Taylorovy věty $[1]$ platí
\begin{equation} \bf
f(x+h) = f(x) + \frac{f'(x)}{1!} h + \frac{f''(x)}{2!} h^2 +
\ldots +\frac{f^{(n)}(x)}{n!} h^n + R_{n+1}(x)
\end{equation}
Například:
$$ \bf e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots $$
Obdobně lze rozvést v~řadu v~okolí nějaké hodnoty i~funkce více proměnných
$$ \bf
f(x_1 + h_1, x_2 + h_2 + \ldots + x_m + h_m) = f(x_1 + x_2 + \ldots + x_m) +
\frac{\sum \limits _{i=1}^m h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}}{1!} + \ldots +
\frac{\sum \limits _{i=1}^m h_i^n \frac{\partial^n f}{\partial x_i}}{n!} +
R_{n+1}
$$

\subsubsection{Zákon přenosu chyb}

Například v~$[3]$ najdeme následující jednoduché odvození zákona přenosu
chyb.
Mějme aritmetické průměry $\bf \hat{x}_1,\hat{x}_2,...,\hat{x}_m$ $ \bf m$
přímo měřených veličin\\
Odhad střední hodnoty hledané veličiny y vypočteme ze vztahu
\begin{equation} \bf
 \hat{y} \doteq f(\hat{x}_1,\hat{x}_2,....,\hat{x}_m)
\end{equation}
Změnu y vyjádříme diferenciálem
\begin{equation} \bf
dy=(\frac {\partial f}{\partial x_1})_{x_2,...,x_m} dx_{1} +.....
     +(\frac {\partial f}{\partial x_m})_{x_1,....,x_{m-1}} dx_m
\end{equation}
Předpokládáme i~platnost pro konečné odchylky
$$ \bf
\hat{y}-y_i=(\frac {\partial f}{\partial x_1})(\hat{x}_1-x_{1i})+.....
+(\frac {\partial f}{\partial x_m})(\hat{x}_m-x_{mi})
$$
Předpokládejme, že každá z~veličin $x_1,...,x_m$ byla změřena n-krát.
Umocněním poslední rovnice a~sečtením přes všechna $i$ dostaneme
$$ \bf
\frac {\sum \limits_{i=1}^{n}(\hat{y}-y_i)^2}{n-1}=
(\frac{\partial f}{\partial x_1})^2\:
     \frac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\hat{x}_1-x_{1i})^2}{n-1}
+....+(\frac{\partial f}{\partial x_m})^2 \:
  \frac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\hat{x}_m-x_{mi})^2}{n-1}
$$
%------------------------------------------------
Po odmocnění dostaneme  {\bf zákon přenosu (hromadění) chyb}
\begin{equation} \bf
\hat{s}_y=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x_1})^2 \:\hat{s}_{x_1}^2 +....+
(\frac{\partial f}{\partial x_m})^2 \: \hat{s}_{x_m}^2}
\end{equation}
%==================================================================

\subsubsection{Obecnější odvození zákona přenosu chyb}

Výše  popsaný způsob odvození vyhovuje pro většinu případů určování
chyb měření ve fyzice, kdy se dá předpokládat, že měřené veličiny jsou na
sobě nezávislé, směrodatná odchylka je malá ve srovnání se střední hodnotou.


Přesnější odvození nalezneme například v~$[6]$.
Postupuje se zde tak, že funkce $y = f(x_1, x_2, \ldots ,x_m)$ se v~okolí
střední hodnoty $\bar{x} =(\bar{x}_1, \ldots \bar{x}_m)$ se rozvine v~Taylorovu
řadu a~vypočteme střední hodnotu a~rozptyl. Složitost výpočtu záleží na počtu
členů řady, které musíme vzít v~úvahu pro dosažení požadované přesnosti
výpočtu. Pro většinu běžných případ vystačíme  pro rozptyl se vztahem
\begin{equation} \bf
s^2(y) \doteq \sum \limits _{i=1}^m
\bigl( \frac{\partial f}{\partial x_j} \bigr)^2 \;s^2(x_i) +
2 \sum \limits _{i=1}^{m-1} \sum \limits _{j = i+1}^m
\bigl( \frac{\partial f}{x_i} \bigr) ^2
\bigl( \frac {\partial f}{x_j} \bigr)^2 cov(x_i, x_j),
\end{equation}
kde $\bf cov(x_i,x_j)$ kovariance mezi veličinami $\bf x_i$ a~$\bf x_j$,
která udává závislost mezi náhodnými veličinami $\bf x_i$ a~$\bf x_j$.
Platí $cov(x_i,x_j) = E[(x_i-\bar{x}_i)\; (x_j - \bar{x}_j)]$.


Pro případ vzájemně nezávislých veličin jsou kovariance rovny nule a~dostaneme
výše odvozený zákon šíření chyb. S~případů, kdy není možno kovarianci
veličin je možné připomenou například prokládaní přímky, popřípadě polynomu
experimentálními body metodou nejmenších čtverců. Počítáme-li chybu
bodů $ \bf y= k*x + q$, je nutné uvažovat korelaci veličin $\bf k$ a~$\bf q.$
%=========================================================

\subsection{Využití zákona přenosu chyb}

Použijeme následující značení:\\
$\delta(x)$ - chyba vyjádřená absolutně\\
$\delta_r(x)$ - chyba vyjádřená relativně ($\delta_r(x)=\frac{\delta(x)}{x}$).
Ze zákona přenosu chyb snadno odvodíme následující vztahy:
%---------------------------------


\car
\begin{equation}
  y=x_1 \pm x_2 \pm \ldots \pm x_k \; \; \; \; \Longrightarrow  \; \; \; \;
 \delta(y)=\sqrt{\delta^2(x_1)+\delta^2(x_2)+\ldots +\delta^2(x_k)}
 \end{equation}


 \car
\begin{equation}
y=k\:x \; \; \; \; \Longrightarrow  \; \; \; \; \delta(y)=k \: \delta(x)
\end{equation}


\car
\begin{equation}
 y=x_1 \; x_2 \; \ldots x_k \; \; \; \; \Longrightarrow  \; \; \; \;
\delta_r(y)=\sqrt{\delta^2_r(x_1)+ \ldots + \delta^2_r(x_k)}
\end{equation}
\begin{equation}
y=\frac{x_1}{x_2} \; \; \; \; \Longrightarrow \; \; \;
    \delta_r(y)=\sqrt{\delta^2_r(x_1)\; + \;
\delta^2_r(x_2) }
\end{equation}




\car
\begin{equation}
y=x^n \; \; \; \Longrightarrow \; \; \; \delta_r(y) = n \; \delta_r(x)
\end{equation}


\car\\
%-------------------
{\bf Příklad:} $y = x_1 - x_2$. Na základě zákona přenosu chyb odvoďte vztah pro
určení chyby $\delta (y)$, znáte-li chyby $\delta (x_1)$ a~$\delta (x_2)$.\\
$$\frac{\partial y}{\partial x_1} = 1;\: \: \: \:
\frac{\partial y}{\partial x_2} = -1; \: \: \: \:
\delta (y) = \sqrt{(\frac{\partial y}{\partial x_1})^2 \:\delta^2(x_1)
+  (\frac{\partial y}{\partial x_2})^2 \:\delta^2(x_2)}=
\sqrt{\delta^2 (x_1) + \delta^2(x_2)}$$
%-----------------------------------------
{\bf Příklad:} $y = x_1 \: x_2$. Na základě zákona přenosu chyb odvoďte vztah
pro určení relativní chyby $\delta_r (y)$, znáte-li relativní chyby
$\delta_r(x_1)$ a~$\delta_r (x_2)$.\\
$$\frac{\partial y}{\partial x_1} = x_2;\: \: \: \:
\frac{\partial y}{\partial x_2} = x_1; \: \: \: \:
\delta (y) = \sqrt{(\frac{\partial y}{\partial x_1})^2 \:\delta^2(x_1)
+  (\frac{\partial y}{\partial x_2})^2 \:\delta^2(x_2)}=
\sqrt{\delta^2 (x_1)\: x^2_2 + \delta^2(x_2)\: x^2_1}$$
$$ \delta_r(y)= \frac{\delta(y)}{y}= \frac{\delta(y)}{x_1 \: x_2}=
\sqrt{\frac{\delta^2(x_1)}{x^2_1} + \frac{\delta^2(x_2)}{x^2_2} }=
\sqrt{\delta^2_r(x_1) + \delta^2_r(x_2)}$$
%------------------------------------------
{\bf Příklad:} Pro měření teploty v~elektrickém kalorimetru používáme teploměr,
který měří teplotu $t$ s~chybou $\delta(t) = 0,2\: ^\circ$C. O~kolik musí vzrůst
teplot v~kalorimetru, abychom změnu teploty dokázali změřit
s~relativní chybou 1\%?\\
Označme $\Delta t = t_2 - t_1$. Chyba $\delta (\Delta t) =
\sqrt{\delta ^2(t_2) + \delta ^2(t_1)}=
\sqrt{\delta ^2(t) + \delta ^2(t)}=
\sqrt{2} \: \delta(t) = 0.28\: ^\circ $C.\\
Relativní chyba $\delta_r (\Delta t) = \delta (\Delta t) / \Delta t=
0,28 / \Delta t = 0,02$. Z~této rovnice vyplývá, že  $\Delta t = 14\: ^\circ$C.\\
%------------------------------------------
{\bf Příklad:} Měření vlhkosti vzduchu $[2]$:  Vzduch se nasává přes U~trubici
s~hygroskopickou látkou. Vážením trubice na analytických vahách dostaneme
hmotnost trubice před měřením $m_1$ a~hmotnost trubice po měření $m_2$.
Objem nasátého vzduchu $V$ určíme z~množství prokapané vody (hmotnosti $M_1$ 
a~$M_2$). $V = (M_2-M_1)/\varrho$.\\
$\varrho$ je měrná hmotnost vody.
$$\varphi=\frac{(m_2-m_1) \: \varrho}{M_2-M_1}; \: \: \: \:
\delta_r(\varphi)=\sqrt{\delta^2_r(m_2-m_1)+\delta^2_r(M_2-M_1)
       +\delta^2_r(\varrho)}$$
$$\delta_r(m_2-m_1)=\frac{\sqrt{\delta^2(m_2)+\delta^2(m_1)}}{m_2-m_1};\: \: \: \:
\delta_r(M_2-M_1)=\frac{\sqrt{\delta^2(M_2)+\delta^2(M_1)}}{M_2-M_1}$$
Pro vážení na analytických vahách obvykle platí:
$\delta(m_1)=\delta(m_2)=\frac{\kappa (n)}{c},$
kde $\kappa(n)$ je krajní chyba čtení na stupnici vah, c je citlivost vah.
%...............................................................

\section{Určení chyby aritmetického průměru}

\subsection{Směrodatná odchylka aritmetického průměru}

Pro aritmetický průměr
$\hat{x}=\frac{\sum \limits_{i=1}^n x_i}{n}$ platí
$\hat{s}_x=\sqrt{(\frac{1}{n})^2 \:s_{x_1}^2 \:+.....+\:(\frac{1}{n})^2 \:
s_{x_n}^2}$.\\
Protože měření je prováděno za stejných podmínek je
$s_{x_1} = s_{x_2} = ...... = s_x$.
\begin{equation} \bf
\hat{s}_x \: = \: \frac{s_x}{\sqrt n}
\end{equation}
\begin{equation} \bf
\hat{s}_x=\sqrt{\frac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\hat{x}-x_i)^2}{n(n-1)}} =
\sqrt{\frac{\sum \limits _{i=1}^{n} x_i^2 - \frac {1}{n} (
\sum \limits _{i=1}^{n} x_i)^2}{n (n-1)}}
\end{equation}
POZNÁMKA: Většina kalkulaček má zabudovanou i~statistiku, to znamená, že
umožňuje výpočet aritmetického průměru a~směrodatné odchylky jednoho měření,
která bývá často značena jako $\sigma$.
Podělíme-li směrodatnou odchylku jednoho měření odmocninou z~počtu měření,
dostaneme směrodatnou odchylku aritmetického průměru. Je však nutno dát pozor
na to, že často kalkulačka umožňuje určit i~veličinu většinou označenou
$S < \sigma$, ze které směrodatnou odchylku aritmetického průměru získáme  tak,
že ji podělíme $\sqrt{n-1}$.


\subsection{Interval spolehlivosti}

Má-li měřená veličina normální rozdělení můžeme k~výpočtu intervalu
spolehlivosti využít následující věty.\\
Věta: Nechť $ \bf x_1,...,x_n$ je výběr z~normálního rozdělení
$\bf N(\mu,\sigma ^2)$. Pak náhodná veličina
\begin{equation} \bf
T=\frac{\hat{x}-\mu}{\hat{s}}
\end{equation}
má Studentovo rozdělení $\bf t_{n-1}$.
Velikost intervalu spolehlivosti je určena součinem směrodatné odchylky
aritme\-tic\-ké\-ho průměru
$ \bf \hat{s}$ a~Studentova koeficientu $ \bf t_{p\;n-1}$, kde $n$ je počet
měření a~$p$
je míra jistoty. (Je-li například $p=0,68$, pak existuje 68\% pravděpodobnost,
že skutečná hodnota měřené veličiny leží v~určeném intervalu).
\begin{equation} \bf
x \:=\:(\hat{x}\;{ \pm}\: t_{p\;n-1} \: \hat{s}),
\end{equation}
kde
\begin{equation} \bf
p=\int \limits _{-t_{p\;n-1}}^{t_{p\;n-1}}{t_{n-1}(z)\; dz}.
\end{equation}
$ \bf t_{p\;n-1}$ je Studentův koeficient, $t_{n-1}(z)$ je Studentovo
rozdělení pro $n-1$ stupňů volnosti.

\newpage
Tabulka Studentových koeficientů:\\
\centerline{\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline
 P   & 0.050  & 0.100  & 0.200  & 0.500  & 0.683  & 0.900  & 0.954  & 0.980  & 0.990  \\
 \hline \hline
 v~& & & & & & & & &\\ \hline \hline
  1  & 0.079 & 0.158 & 0.325 & 1.000 & 1.839 & 6.314 &13.815 &31.821 &63.657 \\
  2  & 0.071 & 0.142 & 0.289 & 0.816 & 1.322 & 2.920 & 4.500 & 6.965 & 9.925 \\
  3  & 0.068 & 0.137 & 0.277 & 0.765 & 1.198 & 2.353 & 3.292 & 4.541 & 5.841 \\
  4  & 0.067 & 0.134 & 0.271 & 0.741 & 1.142 & 2.132 & 2.858 & 3.747 & 4.604 \\
  5  & 0.066 & 0.132 & 0.267 & 0.727 & 1.111 & 2.015 & 2.640 & 3.365 & 4.032 \\
  6  & 0.065 & 0.131 & 0.265 & 0.718 & 1.091 & 1.943 & 2.508 & 3.143 & 3.707 \\
  7  & 0.065 & 0.130 & 0.263 & 0.711 & 1.077 & 1.895 & 2.421 & 2.998 & 3.499 \\
  8  & 0.065 & 0.130 & 0.262 & 0.706 & 1.067 & 1.860 & 2.359 & 2.896 & 3.355 \\
  9  & 0.064 & 0.129 & 0.261 & 0.703 & 1.059 & 1.833 & 2.313 & 2.821 & 3.250 \\
 10  & 0.064 & 0.129 & 0.260 & 0.700 & 1.053 & 1.812 & 2.277 & 2.764 & 3.169 \\
 \hline
 11  & 0.064 & 0.129 & 0.260 & 0.697 & 1.048 & 1.796 & 2.249 & 2.718 & 3.106 \\
 12  & 0.064 & 0.128 & 0.259 & 0.695 & 1.044 & 1.782 & 2.225 & 2.681 & 3.055 \\
 13  & 0.064 & 0.128 & 0.259 & 0.694 & 1.041 & 1.771 & 2.206 & 2.650 & 3.012 \\
 14  & 0.064 & 0.128 & 0.258 & 0.692 & 1.038 & 1.761 & 2.189 & 2.624 & 2.977 \\
 15  & 0.064 & 0.128 & 0.258 & 0.691 & 1.035 & 1.753 & 2.175 & 2.602 & 2.947 \\
 16  & 0.064 & 0.128 & 0.258 & 0.690 & 1.033 & 1.746 & 2.163 & 2.583 & 2.921 \\
 17  & 0.064 & 0.128 & 0.257 & 0.689 & 1.031 & 1.740 & 2.153 & 2.567 & 2.898 \\
 18  & 0.064 & 0.127 & 0.257 & 0.688 & 1.029 & 1.734 & 2.143 & 2.552 & 2.878 \\
 19  & 0.064 & 0.127 & 0.257 & 0.688 & 1.028 & 1.729 & 2.135 & 2.539 & 2.861 \\
 20  & 0.063 & 0.127 & 0.257 & 0.687 & 1.026 & 1.725 & 2.128 & 2.528 & 2.845 \\
 \hline
 21  & 0.063 & 0.127 & 0.257 & 0.686 & 1.025 & 1.721 & 2.121 & 2.518 & 2.831 \\
 22  & 0.063 & 0.127 & 0.256 & 0.686 & 1.024 & 1.717 & 2.115 & 2.508 & 2.819 \\
 23  & 0.063 & 0.127 & 0.256 & 0.685 & 1.023 & 1.714 & 2.109 & 2.500 & 2.807 \\
 24  & 0.063 & 0.127 & 0.256 & 0.685 & 1.022 & 1.711 & 2.104 & 2.492 & 2.797 \\
 25  & 0.063 & 0.127 & 0.256 & 0.684 & 1.021 & 1.708 & 2.100 & 2.485 & 2.787 \\
 26  & 0.063 & 0.127 & 0.256 & 0.684 & 1.020 & 1.706 & 2.096 & 2.479 & 2.779 \\
 27  & 0.063 & 0.127 & 0.256 & 0.684 & 1.020 & 1.703 & 2.092 & 2.473 & 2.771 \\
 28  & 0.063 & 0.127 & 0.256 & 0.683 & 1.019 & 1.701 & 2.088 & 2.467 & 2.763 \\
 29  & 0.063 & 0.127 & 0.256 & 0.683 & 1.018 & 1.699 & 2.085 & 2.462 & 2.756 \\
 30  & 0.063 & 0.127 & 0.256 & 0.683 & 1.018 & 1.697 & 2.082 & 2.457 & 2.750 \\
 \hline
 31  & 0.063 & 0.127 & 0.256 & 0.682 & 1.017 & 1.696 & 2.079 & 2.453 & 2.744 \\
 32  & 0.063 & 0.127 & 0.255 & 0.682 & 1.017 & 1.694 & 2.076 & 2.449 & 2.738 \\
 33  & 0.063 & 0.127 & 0.255 & 0.682 & 1.016 & 1.692 & 2.074 & 2.445 & 2.733 \\
 34  & 0.063 & 0.127 & 0.255 & 0.682 & 1.016 & 1.691 & 2.071 & 2.441 & 2.728 \\
 35  & 0.063 & 0.127 & 0.255 & 0.682 & 1.015 & 1.690 & 2.069 & 2.438 & 2.724 \\
 36  & 0.063 & 0.127 & 0.255 & 0.681 & 1.015 & 1.688 & 2.067 & 2.434 & 2.719 \\
 37  & 0.063 & 0.127 & 0.255 & 0.681 & 1.014 & 1.687 & 2.065 & 2.431 & 2.715 \\
 38  & 0.063 & 0.127 & 0.255 & 0.681 & 1.014 & 1.686 & 2.063 & 2.429 & 2.712 \\
 39  & 0.063 & 0.126 & 0.255 & 0.681 & 1.014 & 1.685 & 2.061 & 2.426 & 2.708 \\
 40  & 0.063 & 0.126 & 0.255 & 0.681 & 1.013 & 1.684 & 2.059 & 2.423 & 2.704 \\
 \hline
 41  & 0.063 & 0.126 & 0.255 & 0.681 & 1.013 & 1.683 & 2.058 & 2.421 & 2.701 \\
 42  & 0.063 & 0.126 & 0.255 & 0.680 & 1.013 & 1.682 & 2.056 & 2.418 & 2.698 \\
 43  & 0.063 & 0.126 & 0.255 & 0.680 & 1.012 & 1.681 & 2.055 & 2.416 & 2.695 \\
 44  & 0.063 & 0.126 & 0.255 & 0.680 & 1.012 & 1.680 & 2.053 & 2.414 & 2.692 \\
 45  & 0.063 & 0.126 & 0.255 & 0.680 & 1.012 & 1.679 & 2.052 & 2.412 & 2.690 \\
 46  & 0.063 & 0.126 & 0.255 & 0.680 & 1.012 & 1.679 & 2.051 & 2.410 & 2.687 \\
 47  & 0.063 & 0.126 & 0.255 & 0.680 & 1.011 & 1.678 & 2.050 & 2.408 & 2.685 \\
 48  & 0.063 & 0.126 & 0.255 & 0.680 & 1.011 & 1.677 & 2.049 & 2.407 & 2.682 \\
 49  & 0.063 & 0.126 & 0.255 & 0.680 & 1.011 & 1.677 & 2.047 & 2.405 & 2.680 \\
 50  & 0.063 & 0.126 & 0.255 & 0.679 & 1.011 & 1.676 & 2.046 & 2.403 & 2.678 \\
 \hline
 \end{tabular}}\\[3 mm]
{\bf Poznámka:} Tabulka Studentových koeficientů byla vytvořena programem
STUSTAB.FM v~systému FAMULUS 3.5. Program využívá knihovnu STAT1.FML, která
obsahuje funkci Tstud(1-p,v), která počítá Studentovy koeficienty.
K~určení Studentových koeficientů je možné využít také program
EXCEL 5. Ten obsahuje funkci $TINV(1-p;v)$, která umožňuje počítat Studentovy
koeficienty.

\newpage
{\bf Příklad:} Ukázka výpočtu chyby aritmetického průměru pro 10 měření
výšky válečku:\\[3 mm]
\centerline{\begin{tabular}{|c|r|r|} \hline
 Výška $v$ & odchylka  $\Delta$ & $\Delta^2$ \\  \hline
 $mm$ & $mm$ & $mm^2$ \\    \hline \hline
4,6 & -0,11 & 0,0121 \\
4,5 & -0,01 & 0,0001 \\
4,7 & -0,21 & 0,0441 \\
4,4 & 0,09  & 0,0081 \\
4,5 & -0,01 & 0,0001 \\
4,6 & -0,11 & 0,0121 \\
4,4 & 0,09  & 0,0081 \\
4,4 & 0,09  & 0,0081 \\
4,3 & 0,19  & 0,0361 \\
4,5 & -0,01 & 0,0001 \\
\hline
44,9 & & 0,129 \\
\hline
\end{tabular}}
$\hat{v}=\frac{\sum \limits_{i=1}^{n} v_i}{n} = 4,49; \:mm \:  \:  \: \:  \:\: \:  \:
\Delta= \hat{v}-v_i; \: \:  \: \: \:  \:\: \:  \:\: \:  \:
\hat{s}=\sqrt{\frac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\hat{v}-v_i)^2}{n(n-1)}} = 0,038\: mm;
\: \: \: \: \:t_{0,68 \: \: 9} = 1,059 $\\
$v = (4.49 \pm 0.04) mm$\\
%--------------------------------------------

{\bf Příklad:} Délka byla měřena 6 krát a~výsledek měření je uveden takto:
$d = (12.5 \pm 0.3)$ mm. S~úrovní spolehlivosti 0,980. Zapište výsledek měření
pro  úroveň spolehlivosti 0,683.\\
$p = 0,983$, $n-1 = 5$, $0,3 = t_{p \: n-1} \: \hat s(d)$.
Protože $t_{p \: n-1} = 3.365$ je $\hat s(d) = 0,3/3.365 = 0.089$ mm.\\
Pro $p=0.683$ je Studentův koeficient $t_{0.683 \: \: 5} = 1,111$.\\
Výsledek je možno napsat ve tvaru $ d = (12,5 \pm 0,1)$ mm.

\section{Metoda nejmenších čtverců}

%------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=10cm}{primka}
% \vspace*{10cm}
\caption{Proložení přímky metodou nejmenších čtverců }
    \end{figure}
%---------------------------------------------------------------------
Mějme naměřenou závislost, tj. soubor dvojic
$\bf x_1\; ,y_1 \; ; \;\;\;\; x_2 \; , y_2 \;;\;\;\ldots  \;\;\; ;x_n\; ,
y_n $\\
Těmito body proložíme funkci
$  \bf y=f(x,b_1,b_2,\ldots,b_p)$, přičemž $\bf b_1,b_2,\ldots,b_p$ jsou
její parametry, jejichž statistické odhady  $\bf \hat{b}_1,\hat{b}_2,\ldots
,\hat{b}_p$ hledáme.\\
Kritérium: Součet S~čtverců odchylek empi\-ric\-kých hodnot $\bf y_i$ od
vyrovnaných
hodnot \\ $\bf y=f(x_i,b_1, \ldots,b_p) $ je minimální, tj.
\begin{equation} \bf
S=\sum_{i=1}^{n}(y_i-f(x_i,b_1, \ldots, b_p))^2 = min.
\end{equation}
Nutnou podmínkou existence minima funkce $\bf S$ je
\begin{equation} \bf
\frac{\partial S}{\partial b_j} = 0
\end{equation}
pro j = 1, 2, \ldots, p.\\
Dále omezíme tvar funkce f na lineární regresní funkci
\begin{equation} \bf
y=b_1f_1(x)+b_2 f_2(x) + \ldots + b_p f_p(x)
\end{equation}
Podmínka pro minimum má tvar
\begin{equation}  \bf
S=\sum_{i=1}^{n}(y_i-b_1 f_1(x_i)-\ldots-b_j f_j(x_i)-
  \ldots -b_p f_p(x_i))^2 = min
\end{equation}


Konkrétně pro parametr $\bf b_j$ obdržíme
\begin{equation}  \bf
\sum_{i=1}^{n}f_j(x_i) f_1(x_i) b_1+ \ldots +
 \sum_{i=1}^{n} f_j(x_i) f_p(x_i) b_p=
\sum_{i=1}^{n} y_i f_j(x_i)
\end{equation}
Označme
\begin{equation} \bf
\sum_{i=1}^{n}f_j(x_i)\:f_h(x_i)=a_{jh} \: \: \: \;
\sum_{i=1}^{n} y_i f_j(x_i) = a_j
\end{equation}
Získáme tak soustavu rovnic:
\begin{center} $$
\begin{array}{c}
 a_{11} b_1 + a_{12} b_2 + \ldots + a_{1p} b_p = a_1\\
 a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + \ldots + a_{2p} b_p = a_2\\
 \vdots  \\
 a_{p1} b_1 + a_{p2} b_2 + \ldots + a_{pp} b_p = a_p
\end{array} $$
\end{center}
Řešením této soustavy tzv. normálních rovnic obdržíme hledané odhady
$\bf \hat{b}_1,\hat{b}_2,\ldots,\hat{b}_p$\\
Pro polynom $m$ tého stupně $y = b_0 + b_1\;x +b_2\;x^2 +...+ b_m\;x^m$
 mají rovnice tvar
 \begin{center} $$
 \begin{array}{c}
 n\; b_o + \sum\limits _{i=1}^{n} x_i b_1 + \ldots +
 \sum \limits_{i=1}^{n} x_i^m b_m = \sum \limits _{i=1}^{n}y_i \\
 \sum \limits _{i=1}^{n} x_i b_o + \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2 b_1 +
 \ldots + \sum \limits _{i=1}^{n} x_i^{m+1} b_m= \sum \limits _{i=1}^{n} x_i y_i  \\
\vdots \\
 \sum \limits _{i=1}^{n} x_i^m b_o + \sum \limits_{i=1}^{n} x_i^{m+1}b_1+
\ldots + \sum \limits _{i=1}^{n}x_i^{2m} b_m =
 \sum \limits _{i=1}^{n} x_i^m y_i
 \end{array} $$
 \end{center}
Pro příklad prokládání přímky $\bf y = k~x + q$ dostaneme toto řešení
\begin{equation} \bf
\hat{k}=\frac{n \sum \limits_{i=1}^{n}x_i y_i - \sum \limits_{i=1}^{n} y_i
\sum \limits_{i=1}^{n}x_i}{W}; \; \: \: \: \: \: \:
\hat{q}=\frac{\sum \limits_{i=1}^{n} y_i \sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2 -
\sum \limits_{i=1}^{n}x_i \sum \limits_{i=1}^{n} x_i y_i}{W}
\end{equation}
kde
\begin{equation} \bf
W=n \sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2 - (\sum \limits_{i=1}^{n}x_i)^2; \: \: \: \: \: \:
 S_o=\sum \limits_{i=1}^{n}(y_i - \hat{q}- \hat{k} x_i )^2
\end{equation}
Pro směrodatné odchylky platí
\begin{equation} \bf
\hat{s}_q= \sqrt{\frac{\sum \limits_{i=1}^{n}x_i^2}
{W}}\sqrt \frac{S_o}{n-2}; \: \: \: \: \:
\hat{s}_k= \sqrt{\frac{n}{W}}\sqrt \frac{S_o}{n-2}
\end{equation}
Z~obecných statistických úvah pro standardní odchylku parametru $b_j$
plyne
\begin{equation} \bf
\hat{s}_{b_j}= \sqrt{a_{jj}} \sqrt{\frac{S_0}{n - p}},
\end{equation}
kde $n$ je počet měření, $p$ je počet určovaných parametrů, $S_0$ je
zbytkový (reziduální) součet čtverců odchylek
\begin{equation} \bf
S_0 = \sum_{i = 1}^{n} \left(y_i - \hat{b}_1 f_1(x_i) - ... -
 \hat{b}_p f_p(x_i)\right)^2.
\end{equation}
$\bf a_{jj}$  je $\bf j$ - tý diagonální prvek matice inverzní k~matici soustavy
normálních rovnic.


Funkce $\bf y=f(x_i,b_1, \ldots,b_p) $ se nazývá {\bf teoretická regresní
funkce} a~její znázornění se nazývá {\bf teoretická regresní křivka}.
Regresní funkce $\bf y=f(\hat{b}_1,\hat{b}_2,\ldots,\hat{b}_p)$
v~níž jsou neznámé parametry $\bf b$ nahrazeny odhady $\bf \hat{b}$ se nazývá
{\bf empirická regresní funkce} a~její grafické znázornění se nazývá
{\bf empirická regresní křivka}.\\[3 mm]
{\bf Poznámka:} Dostupné modely v~systému FAMULUS 3.5\\
PRIMKA.FM : Proložení přímky metodou nejmenších čtverců\\
PRIMKAP.FM: Předcházející program doplněný o~analýzu dat\\
%------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=10cm}{primkai}
% \vspace*{10cm}
\caption{Proložení přímky metodou nejmenších čtverců s~vyznačením
 intervalu spolehlivosti}
    \end{figure}
%------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=10cm}{polynom}
% \vspace*{10cm}
\caption{Proložení polynomu metodou nejmenších čtverců s~vyznačením
 intervalu spolehlivosti}
    \end{figure}
%---------------------------------------------------------------------
%############################################################---------------

\section{Lineární a~nelineární regrese}

Pojmem {\bf lineární regresní model} se označuje model
$\bf y = f(x,b_1,\ldots,b_p)$, který je lineární
kombinací modelových parametrů. Pro lineární regresní modely platí
podmínka
\begin{equation} \bf
g_j = \frac{\partial f(x,b_1,\ldots,b_p)}{\partial b_j} = \rm \bf konst.
\: \: \: \: \: j=1, \ldots, p
\end{equation}
Pokud je alespoň pro jeden parametr $\bf b_j$ parciální derivace
$\bf g_j$ jeho funkcí, jde o~{\bf nelineární regresní model}.

\section{Interpolace a~aproximace}

Interpolace a~aproximace funkcí nebo experimentálních dat zahrnuje řadu
technik.
Obecně se provádí náhradou funkce $\bf f(x)$, zadané hodnotami
$\bf [x_i, y_i], i= 1, 2,....., n$ vhodnou aproximující funkcí $\bf g(x)$.
Za aproximující funkci $f(x)$ se často volí lineární kombinace
elementárních funkcí $\bf g_j(x)$.
\begin{equation} \bf
g(x) = \sum_{j=1}^m c_j \ g_j(x).
\end{equation}
Příkladem elementárních funkcí $\bf g_j(x)$ jsou polynomy $\bf x^{j-1}$
racionální funkce, podíly polynomů, trigonometrické funkce,
exponenciální funkce atd. Aproximující funkce souvisí se zadáním dané úlohy
a~ovlivňují stupeň aproximace. Ten se obyčejně vyjadřuje jako vzdálenost
mezi aproximující funkcí $\bf g(x)$ a~aproximovanou funkci $\bf f(x)$, resp.
diskrétními hodnotami $\bf y_i$.


Zvláštním případem aproximace je {\bf interpolace}: při interpolaci závislostí
se sestrojuje funkce $\bf g(x)$ tak, aby procházela zadanými body
$\bf [x_i, y_i], i= 1, 2,....., n$, a~splňovala přitom podmínky týkající se jejího
tvaru.


Při {\bf interpolaci funkcí } musí být v~definovaných bodech $\xi_i$
$i=1,2,...,n$ nazvaných {\bf uzlové body interpolace}, funkce $f(x)$ a~$g(x)$
spojité ve funkčních hodnotách a~hodnotách zvolených derivací
\begin{equation} \bf
f^{(j)}(\xi_i) = g^{(j)}(\xi_i) \ \ \ \ \ \ i=1,2,.....n,
\ \ \ \ \ j = 0,...., r_i
\label{eq : podminka}
\end{equation}
Zde $f^{(j)}$ označuje j-tou derivaci a~$r_i$ je maximální derivací v~i-tém
uzlu, ve které jsou totožné obě, aproximovaná a~aproximující funkce.


Interpolace se v~technické praxi využívá pro
\begin{itemize}
\item {\bf Zespojitění tabelárních údajů}
\item {\bf Náhradu složitých funkcí} $f(x)$ nebo funkcí, které nelze přímo
vyčíslit
\item {\bf Numerickou derivaci a~integraci}
\item {\bf Kreslení grafů} závislostí zadaných tabulkou
\end{itemize}


Při aproximaci závislostí se předpokládá aditivní působení chyb typu
\begin{equation}
y_i = g(x_i) + \epsilon_i
\end{equation}
Pokud je druh funkce $g(x)$ předem znám, přechází úloha aproximace na úlohu
lineární nebo nelineární regrese. Pokud se volí $g(x)$ ve tvaru lineární
kombinace elementárních funkcí, jde o~úlohu lineární regrese.


Aproximace se v~technické praxi používá k:
\begin{itemize}
\item {\bf Vyhlazování závislostí}, tj. k~eliminaci náhodných chyb $\epsilon_i$
\item {\bf Náhrada rozsáhlých souborů dat} hladkými křivkami.
\item {\bf Numerické derivování a~integraci}
\item {\bf Tvorbě speciálních empirických modelů}  regresního typu jako je
splineregrese.
\end{itemize}
%############################################

\subsection{Klasické interpolační postupy}

Mezi nejznámější postupy patří polynomická interpolace, která hledá polynom
g(x) nejmenšího možného stupně, splňující podmínku ({\ref{eq : podminka})
%$$f^{(j)}(\xi_i) = g^{(j)}(\xi_i) \ \ \ \ \ \ i=1,2,.....n,
%\ \ \ \ \ j = 0,...., r_i.$$
Tato úloha má právě jedno řešení a~hledaný polynom je stupně nejvýše:
\begin{equation} \bf
m=\sum \limits_{i=1}^{n} r_i \: + \: n \: - \: 1.
\end{equation}
Pokud je požadavkem shoda pouze ve funkčních hodnotách, jsou
$r_i = 0, i = 1,.....,n$, a~n-tice bodů je interpolována jednoznačně polynomem
(n - 1)ního stupně. Z~podmínek  ({\ref{eq : podminka}}) se
sestaví $m$ lineárních rovnic, ze
kterých  se vypočtou odpovídající koeficienty $c_j$.
Pro větší počty uzlových bodů je výpočet koeficientů interpolačního polynomu
výše uvedenou  metodou nepohodlný. Užívá se proto rozličných interpolačních
vzorců.

\subsubsection{Lagrangeoava a~Newtonova interpolační formule}

Formule se užívají pro případ $r_i= 0$, kdy se konstruuje polynom stupně
nejvýše $ m = n - 1$, interpolující $n$ uzlových bodů, a~kdy platí
$y_i = f(x_i) = g(x_i)$. Interpolační polynom splňující tyto podmínky lze
vyjádřit jako lineární kombinaci všech y-ových hodnot
\begin{equation} \bf
L_m(x) = \sum \limits_{i=1}^{n}y_i \: g_j(x),
\end{equation}
kde $g_j(x)$ jsou polynomy stupně (n - 1) takové, že pro všechna j různá od 
i~platí
\begin{equation} \bf
g_j(x_i) = 0, \: \: \: \: \: \: \: g_j(x_j) = 1
\end{equation}
Lagrangeův interpolační polynom má tvar:
\begin{equation} \bf
L_m(x) = \sum \limits_{j=1}^{n} y_j \prod \limits_{i=1,i\neq j}^{n}
\frac{x - x_i}{x_i-x_j}.
\end{equation}
Další podrobnosti je možné nalézt například v~$[6]$.


Nevýhodou tradičního vyjádření interpolačního polynomu v~Lagrangerově
tvaru je nutnost opětovného přepočítání všech členů při přidání dalšího bodu
$x_{n+1}, y_{n+1}$. Z~tohoto hlediska je při postupném přidávání uzlů výhodnější
{\bf Newtonova interpolační formule}
\begin{equation} \bf
P_m(x) = \sum \limits_{j=1}^{n} a_j \prod \limits_{k=1}^{j-1} (x - x_k).
\end{equation}
Přidání bodu $x_{n+1}, y_{n+1}$ pak vede k~interpolačnímu polynomu
\begin{equation} \bf
P_{m+1}(x) = P_m(x) \: + \: a_{n+1}\prod \limits_{k=1}^{n} (x - x_k).
\end{equation}
Podrobný návod k~výpočtu koeficientů $a_j$ naleznete například v~$[6]$.

\subsubsection{Hermiteovská interpolace}

Při této interpolaci se požaduje, aby interpolační polynom $H_m$ se svou první
derivací souhlasil ve všech uzlových bodech s~danou funkcí a~její první
derivací. To znamená, že $r_i = 1, i = 1, ..., n$ a~interpolační polynom
je stupně $(2 n - 1)$. Podrobnosti   naleznete opět v~$[6]$.

\subsubsection{Racionální interpolace}

Při této aproximaci je interpolující funkce $\bf R_{m,l}(x)$ definována jako podíl
polynomu stupně $\bf m$ (v~čitateli) a~polynomu stupně $\bf l$ (ve jmenovateli).
\begin{equation} \bf
R_{m,l} = \frac{P_m(x)}{P_l(x)}
\end{equation}
Tato aproximace nahrazuje klasickou polynomickou interpolaci stupně (m + 1).
Podrobnosti jsou například v~$[6]$.

\subsection{Spline interpolace}

%-----------------------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=10cm}{inter}
% \vspace*{10cm}
\caption{Ukázka nevhodného použití interpolace polynomem (křížky), zadané body zobrazeny kroužky,
spojitě nakreslen skutečný průběh funkce }
    \end{figure}
%-----------------------------------------
%-----------------------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=10cm}{spline}
% \vspace*{10cm}
\caption{Ukázka použití spline interpolace (spojitá křivka), zadané body
zobrazeny kroužky, průběh označený křížky ukazuje pro srovnaní interpolaci polynomem }
    \end{figure}
%-----------------------------------------
Užívání polynomiálních interpolačních formulí má řadu nevýhod. Jsou totiž
složeny z~elementárních funkcí definovaných na celé reálné ose, což vede 
u~interpolačních formulí vyšších řádů ke vzniku řady lokálních minim, maxim 
a~inflexních bodů, které neodpovídají průběhu funkce $f(x)$ či tabelované
závislosti $[x_i, y_i], i=1,....n$. Při interpolaci fyzikálních závislostí
se stává, že chování v~jistém intervalu se výrazně liší od jejich chování
v~intervalech sousedních. Jde o~závislost tzv. neasociativní povahy. Z~těchto
úvah plyne, že pro účely interpolace, ale i~aproximace bude výhodnější
volit lokálně definované funkce, které budou v~místech vzájemného styku, tj.
v~uzlech, spojité ve funkčních hodnotách a~v~hodnotách zadaných derivací.


Vhodné interpolační funkce tohoto typu jsou složeny z~polynomických úseků
a~platí pro ně, že jsou ze třídy $C^m[a, b]$. Obecně jsou funkce třídy
$C^m[a, b]$ na intervalu $[a, b]$ spojité v~prvních m derivacích a~funkčních
hodnotách.


S~využitím uvedených vlastností funkcí ze třídy $C^m[a, b]$ můžeme definovat
obecně polynomický spline $S_m(x)$ s~uzly
$ a = \xi_1 < \xi_2 < ..... < \xi_n = b$.
Tento spline je na každém úseku $[\xi_j, \xi_{j+1}], j = 1, ....,n-1$,
reprezentován polynomem maximálně m-tého stupně. Pokud je v~nějakém bodě $x_i$
některá derivace $S^{(1)}(\xi_i)$ nespojitá, jde o~defektní spline.\\
Vlastnosti spline $S_m(\xi_i)$ závisí na:
\begin{itemize}
\item řádu polynomu m, přičemž se obvykle volí kubický spline (m = 3)
\item počtu a~polohách uzlů $  \xi_1 < \xi_2 < ..... < \xi_n $
\item defektech v~uzlových bodech
\end{itemize}
 %===========================================================================

\subsection{Přehled vzorců pro lineární regresi s~jednou nezávislou proměnnou}

\subsubsection{Předpoklady, které by měly být  v~regresním modelu splněny.}

Formulace problému: K~hodnotám $x_1, x_2, \ldots ,x_n $ nezávisle proměnné
získáme měřením odpovídající hodnoty závisle proměnné $y_1, y_2, \ldots , y_n$.
Tyto hodnoty nesplňují regresní model přesně, ale jsou zatíženy chybami.
Například pro lineární regresy je možno psát: $ y_i = a~+ b \: x_i + e_i$,
kde $e_i$ jsou chyby.\\
Musí být splněny následující předpoklady:
\begin{itemize}
\item Chyby mají nulovou střední hodnotu.
\item Chyby jsou vzájemně nezávislé.
\item Chyby mají normální rozdělení.
\item Chyby mají stejný (neznámý) rozptyl.
\item Nezávislé proměnné jsou lineárně nezávislé, žádnou tedy není možné
nahradit lineární kombinací zbývajících.
\item Na regresní koeficienty již nejsou kladena žádná další omezení
(například nezápornost regresních koeficientů atd.)
\item Nezávisle proměnné (často se užívá i~název vysvětlující proměnné) jsou
nenáhodné, tzn. nejsou výsledkem žádného experimentu.
\end{itemize}
Lineární model splňující tyto předpoklady patří do třídy {\bf klasických
lineárních modelů}. Nejdůležitější jsou první tři předpoklady. Nesplnění
posledních tří předpokladů se řeší zavedením {\bf zobecněného modelu lineární
regrese }\\
Dále použijeme následující označení:\\
$p$ - hladina spolehlivosti (je-li například $p=0,68$, pak existuje
68 \% pravděpodobnost, že hodnota veličiny leží ve vymezeném intervalu).\\
$t_{n \; p}$ - Studentův koeficient odpovídající $n$ stupňů volnosti 
a~pravděpodobnosti $p$.



\subsubsection{Přímka procházející počátkem}

MODEL: $ \bf y_i = a~\; x_i + e_i$ \\
Odhad regresního koeficientu $\hat{a}$ a~odhad rozptylu $s$:
\begin{equation} \bf
\hat{a} = \frac{\sum \limits _{i=1}^{n}x_i y_i}{\sum \limits _{i=1}^{n} x_i^2};
\: \: \: \: \: \: \: \: \: \:
s^2 =\frac{\sum \limits _{i=1}^{n} y_i^2 - \hat{a} \sum \limits _{i=1}^{n}
x_i y_i}{n -1}
\end{equation}
Interval spolehlivosti pro regresní koeficient:
\begin{equation} \bf
\hat{a}\; \pm \; t_{n-1 \; p} \;\;s \;
 \sqrt{\sum \limits _{i=1}^{n} x_i^2}
\end{equation}
Interval spolehlivosti pro vyrovnávanou hodnotu:
\begin{equation} \bf
\hat{a} \;x \;\pm \;t_{n-1 \; p}  \;s \;
     \sqrt{\sum \limits _{i=1}^{n} x_i^2}
\end{equation}

\subsubsection{ Přímka procházející daným bodem}

MODEL: $ \bf y_i = y_0 + b \; ( x_i - x_0) + e_i$ \\
Odhad regresního koeficientu $\hat{b}$ a~odhad rozptylu $s$:
\begin{equation} \bf
\hat{b} = \frac{\sum \limits _{i=1}^{n} (x_i - x_0) ( y_i - y_0)}
{\sum \limits _{i=1}^{n} (x_i - x_0)^2};
\: \: \: \: \: \; \: \;
s^2 =\frac{\sum \limits _{i=1}^{n} (y_i  - y_0)^2 -
\frac { (\sum \limits _{i=1}^{n}
(x_i - x_0) ( y_i - y_0))^2}{\sum \limits _{i=1}^{n} (x_i-x_o)^2}}{n - 1}
\end{equation}
Interval spolehlivosti pro regresní koeficient:
\begin{equation} \bf
\hat{b} \; \pm \; t_{n-1 \; p} \; s~\; \sqrt{\frac {1}
{\sum \limits _{i=1}^{n} x_i^2}}
\end{equation}
Interval spolehlivosti pro vyrovnávanou hodnotu:
\begin{equation} \bf
y_0 + \hat{b} \; (x - x_0) \pm t_{n-1 \; p}  \; s~\; \sqrt
{\frac{1}{\sum \limits _{i=1}^{n} (x_i - x_0)^2}}
\end{equation}

\subsubsection{ (Obecná) regresní přímka}

MODEL: $ \bf y_i = a~+ b \; x_i  + e_i$ \\
Odhad regresních koeficientů:
\begin{equation} \bf
\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}; \: \: \: \: \: \: \:
\hat{b} = \frac{\sum \limits _{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})  \; y_i }
{\sum \limits _{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
\end{equation}
Odhad rozptylu:
\begin{equation} \bf
s^2 = \frac{1}{n (n - 2)} \left( n \sum \limits _{i=1}^{n} y_i^2 -
           (\sum \limits _{i=1}
^{n} y_i)^2 - \frac{n \sum \limits _{i=1}^{n} x_i y_i -
      \sum \limits _{i=1}^{n}
x_i  \sum \limits _{i=1}^{n} y_i}{n \sum \limits _{i=1}^{n} x_i^2 - (
\sum \limits _{i=1}^{n} x_i)^2} \right)
\end{equation}
Interval spolehlivosti pro regresní koeficienty:
\begin{equation} \bf
\hat{a} \; \pm \; t_{n-2 \; p} \; s~\; \sqrt{\frac{1}{n} +
   \frac {\bar{x}^2}{\sum \limits _{i=1}^{n} x_i^2 - n \; \bar{x}^2}};
   \: \: \: \:\:\:\: \:
\hat{b} \; \pm \; t_{n-2 \; p} \; s~\; \sqrt{\frac {1}
{\sum \limits _{i=1}^{n} x_i^2 - n \bar{x}^2}}
\end{equation}
Interval spolehlivosti pro vyrovnávanou hodnotu:
\begin{equation} \bf
\hat{a} + \hat{b} \; x \; \pm \; t_{n-2 \; p}  \; s~\; \sqrt
{\frac{1}{n} + \frac{(x - \bar{x})^2}{\sum \limits _{i=1}^{n} x_i ^2 -
n \bar{x}^2}}
\end{equation}
%@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@


\section{Popisné statistiky.}

\subsection{Základní termíny z~popisné statistiky.}

%------------------------
\begin{figure}[htb]
% \vspace*{12cm}
\caption{Histogramy pro různé typy rozdělení }
    \end{figure}
%---------------------------------------------------------------------
Předmětem statistického zkoumání jsou {\bf hromadné jevy}, to znamená, že
zkoumáme vlastnosti u~velkého počtu prvků.


{\bf Základní soubor} sdružuje tyto prvky.\\
Počet prvků základního souboru se nazývá {\bf rozsah souboru}.\\
Údaje (vlastnosti) uvedené pro prvky základního nazýváme {\bf (statistické)
proměnné} nebo též {\bf znaky}.


Většinou je nákladné, nesnadné a~nebo dokonce nemožné zjišťovat hodnoty
statistických proměnných pro každý prvek základního souboru. V~takovém
případě pracujeme s~vhodně zvoleným {\bf výběrem } (vzorkem) ze základního
souboru. Pokud je výběr vytvořen statisticky správně, například { \bf náhodným
výběrem}, dá se na jeho základě získat určitá představa o~základním souboru.


Při statistických zkoumáních se zaměřujeme na charakterizování a~popis
{\bf rozdělení četnosti proměnné (znaku)}, a~to jak v~základním souboru, tak
i~ve výběru. Pod těmito slovy si můžeme představit tabulku, která v~jednom
řádku obsahuje hodnoty proměnných a~ve druhém odpovídající četnosti (tj.
kolikrát byla tato hodnota obsažena v~souboru). U~spojitých veličin se
výpisu do tabulky samozřejmě četnost v~určitých zvolených mezích (intervalu).
Četnost v~tomto případě nepřísluší hodnotám, ale intervalům. Intervalové
rozdělení četnosti se často znázorňuje graficky pomocí {\bf histogramu} nebo
{\bf polygonu četnosti}.


Při kreslení histogramu vynášíme na osou x intervaly a~na osu y četnosti
v~těchto intervalech. Obdélníčky se stranami odpovídajícími intervalu hodnot
a~dosažené četnosti vytvoří histogram. Pospojováním středů horních stran
obdélníčků získáme polygon.


Optimální počet intervalů $k$ obvykle volíme podle {\bf Stugersova pravidla}.
\begin{equation} \bf
k = 1 + 3,3 \; log_{10}(n),
\end{equation}
kde $n$ je počet prvků, které máme k~dispozici.


Často četnosti nevyjadřujeme absolutně, ale relativně, tj. jako poměrnou část
z~celkového rozsahu souboru $n$ (absolutní četnost dělíme $n$). Mluvíme pak
o~{\bf relativním rozdělení četnosti}.

\subsection{Charakteristiky polohy, variability, šikmosti a~špičatosti}

\subsubsection{Charakteristiky polohy}

Udávají střed celé skupiny údajů, kolem kterého všechny hodnoty kolísají
(analogie těžiště).\\
{\bf Výběrový (aritmetický průměr)} je definován známým vzorcem
\begin{equation}
\bar{x} = \frac{1}{n} \; \sum_{i=1}^{n} \; x_i
\end{equation}
{\bf Medián} je definován jako prostřední hodnota výběru, a~to prostřední
v~pořadí hodnot uspořádaných podle velikosti. Jinak řečeno polovina hodnot
výběru je menší nebo rovna mediánu a~polovina hodnot je větší nebo rovna
mediánu. Pokud prostřední hodnota není určena jednoznačně (například pro
sudý rozsah výběru) je za medián brán průměr dvou prostředních hodnot. \\
%------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=12cm}{popis}
% \vspace*{12cm}
\caption{Popisné statistiky dat z~histogramu: ukázka možností procedury
{\it Statistiky} knihovny {\it STAT.FML} }
    \end{figure}
%---------------------------------------------------------------------
{\bf Modus} je nejčetnější hodnota znaku.\\
{\bf Kvantil $x_p$} (označovaný někdy jako {p-procentní kvantil}) je hodnota
znaku, pro který platí, že nejméně p-procent prvků má hodnotu menší nebo
rovnu $x_p$ a~$(100 - p)$ procent prvků je větších nebo rovno $x_p$.\\
Používají se tyto kvantily:\\
\centerline{\begin{tabular}{|l|l|} \hline
{\bf medián}& $x_{50}$\\
{\bf dolní kvartil} & $x_{25}$\\
{\bf horní kvartil } & $x_{75}$\\
{\bf decily} & $x_1, x_2, ..., x_{90}$\\
{\bf percentily} & $x_1, x_2,...,x_{99}$\\ \hline
\end{tabular}}\\
{\bf Příklad:} Jak počítat kvantily si ukážeme na jednoduchém příkladu.\\
Mějme dána následující čísla: 1, 3, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 5, 1, 2, 3.\\
Čísla uspořádáme vzestupně:
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11  & 12\\
\hline
1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4  & 5 \\
\hline
\end{tabular}\\
Protože hodnot proměnných je 12, je {\bf medián } roven aritmetickému průměru
šesté a~sedmé hodnoty:\\ $x_{50} = (2 + 2) /2 = 2$\\
{\bf Dolní kvartil} je roven třetí hodnotě $(12 . 25 /100 = 3)$.
$x_{25} = 2$\\
{\bf Horní kvartil} je roven deváté hodnotě $(12 . 75/100 = 9)$.
$x_{75} = 3$.\\
{\bf Modus} je roven 2.\\

\subsubsection{Charakteristiky variability}

Charakteristiky variability udávají koncentraci nebo rozptýlení (variabilitu)
hodnot kolem zvoleného středu skupiny. \\
{\bf Rozpětí R} je definováno jako rozdíl největší (maximální) a~nejmenší
(minimální) hodnoty. \\
{\bf Mezikvartilové rozpětí} je definováno jako rozdíl horního a~dolního
kvartilu (je tedy rovno $x_{75} - x_{25}$).\\
{\bf Rozptyl $s^2$} je definován jako součet kvadratických odchylek
od průměru, děleným rozsahem výběru zmenšeným o~1.
\begin{equation} \bf
s^2 = \frac{1}{n - 1} \; \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2
\end{equation}
{\bf Směrodatná odchylka s} je definována jako odmocnina z~rozptylu.\\
{\bf (Průměrná) absolutní odchylka d} je definována jako průměr
absolutních odchylek od průměru.
\begin{equation} \bf
d = \frac{1}{n} \; \sum_{i=1}^n \vert x_i - \bar{x} \vert.
\end{equation}
V~porovnání se směrodatnou odchylkou se tolik nezvětšuje při výskytu
extrémních hodnot. \\
{\bf Variační koeficient c} slouží k~měření relativní variability. Je
definován jako podíl směrodatné odchylky a~průměru.
\begin{equation} \bf
c = \frac{s}{\bar{x}}.
\end{equation}
Využívá se jej také pro porovnání variabilních znaků měřených v~odlišných
jednotkách.\\
%=======================================================

\subsubsection{Charakteristiky šikmosti}

Charakteristiky šikmosti udávají, jsou-li hodnoty kolem zvoleného středu
rozloženy souměrně nebo je-li rozdělení hodnot zešikmeno na na jednu stranu.
Všechny charakteristiky šikmosti nějakým způsobem využívají vztahů mezi
průměrem $\bar{x}$, mediánem $\tilde{x}$ a~modem $\hat{x}$.
\begin{itemize}
\item Pro záporně sešikmené rozdělení je $ \bf \bar{x} < \tilde{x} < \hat{x}$
\item Pro symetrické rozdělení je $\bf \bar{x} = \tilde{x} = \hat{x}$
\item Pro kladně sešikmené rozdělení je $\bf \bar{x} > \tilde{x} > \hat{x}$
\end{itemize}


{\bf (Momentový) koeficient šikmosti $S_m$} je definován vztahem:
\begin{equation} \bf
S_m = \frac  {1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - \bar{x})^3}{s^3}
\end{equation}
{\bf Kvantilový koeficient šikmosti $ \bf S_p$ } je definován jako
\begin{equation} \bf
S_p = \frac {(x_{100-p} - x_{50}) - (x_{50} - x_p)}{x_{100-p} - x_p},
\end{equation}
kde $ \bf p<50$

\subsubsection{Charakteristiky špičatosti}

Charakteristiky špičatosti udávají, jaký průběh má rozdělení  hodnot kolem
zvoleného středu (rozdělení). Čím je rozdělení špičatější, tím víc jsou
hodnoty soustředěny kolem daného středu rozdělení. Na druhé straně,
rozdělení s~nízkou špičatost často obsahuje hodnoty velmi vzdálené od středu
rozdělení.


{\bf (Momentový) koeficient špičatosti $\bf K_m$} je definován vztahem
\begin{equation} \bf
K_m = \frac {1}{n} \sum _{i=1}^n \frac {(x_i - \bar{x})^4}{s^4}.
\end{equation}
Někdy se jako charakteristika špičatosti používá veličina $ \bf K_m - 3$.
Je to proto, že normované normální rozdělení má $\bf K_p = 3$. Při porovnávání
zda $ K_m > 0$ ( nebo původně $> 3$) zjišťujeme, zda je rozdělení špičatější
(strmější) než normované normální rozdělení.


{\bf Kvantilový koeficient špičatosti $\bf K_p$} je definován
\begin{equation} \bf
K_p = \frac {x_{max} - x_{min}}{x_{100-p} - x_p},
\end{equation}
kde $p < 50$. $ x_p$ je odpovídající kvantil (např. dolní kvartil $ x_{25}$,
nebo první decil $x_{10}$ atd.)


Vztah mezi kvantilovým a~momentovým koeficientem  šikmosti (špičatosti)
je podobný vztahu průměru a~mediánu, či rozptylu a~kvantilových rozpětí.
Obecně je možno říct, že kvantilové charakteristiky jsou většinou méně citlivé
na velké změny (chyby) v~datech (nejsou jimi tolik  ovlivňovány). Tato
vlastnost v~sobě však může nést i~jistou nevýhodu. \\[2 mm]
%------------------------------------------------------
Popisné statistiky umožňuje provádět i~program EXCEL. Možnosti ukazuje
následující tabulka:\\
\centerline{\begin{tabular}{|l||l|l|} \hline
Data & Název & Hodnota \\ \hline \hline
     4,7&střední hodnota         &4,49\\
     4,4&chyba střední hodnoty   &0,0379\\
     4,5&medián               &4,5\\
     4,6&modus                &4,5\\
     4,4&směrodatná odchylka  &  0,1197\\
     4,4&rozptyl výběru  &0,0143\\
     4,3&špičatost      & -0,369\\
     4,5&šikmost        & 0,233 \\
     4,6&   rozdíl max-min&       0,4\\
      4,5&  minimum        &      4,3\\
        &maximum           &   4,7\\
        &součet            &  44,9\\
        &počet             &    10\\
        &věrohodnost (95 \%)& 0,0742\\
        \hline
 \end{tabular}}
%=========================================================================
%JH\newpage

\section{Určování chyb měřicích přístrojů}

\subsection{Mezní hodnota chyb a~třída přesnosti přístroje}

{\bf Mezní chyba $\bf \Delta_0$} měřicího přístroje je jeho nejvyšší přípustná chyba,
kterou ostatní odchylky přístroje za daných podmínek nepřekročí.
{\bf Redukovaná mezní chyba} $ \bf \delta_{0,R}$ měřicího přístroje pro určitou
hodnotu hodnotu měřené veličiny $\bf x_i$ a~stanovené podmínky je dána poměrem
mezní chyby $\bf \Delta_0$ a~měřicího rozsahu $\bf R$,
$ \bf \delta_{0,R} = \Delta_0/R$. Často se redukovaná mezní chyba udává
v~procentech měřicího rozsahu $ \bf R$, $ \bf \delta_{0,R} = 100 \Delta_0/R$.
Měřicí rozsah $\bf R$ je algebraický rozdíl krajních hodnot stupnice,
$\bf R = x_{max} - x_{min}$.


{\bf Třída přesnosti} měřicího  přístroje je klasifikačním znakem přesnosti
v~celém měřicím rozsahu přístroje. Třída přesnosti se vyjadřuje kladným
bezrozměrným číslem ze stanovené číselné řady. Toto číslo je vždy větší,
nebo nanejvýš stejné, jako největší absolutní hodnota z~redukovaných mezních
chyb, zjištěných za daných podmínek v~celém měřicím rozsahu přístroje.
\begin{enumerate}
\item V~případě čistě aditivních chyb měření se užívá
{\bf redukovaná relativní odchylka} (zde rovna třídě přesnosti přístroje)
\begin{equation} \bf
\delta_0= 100 \frac{\Delta_0}{x_{max} - x_{min}} = 100 \frac{\Delta_0}{R},
\end{equation}
kde $\bf R$ je rozmezí stupnice. U~přístrojů, kde působí chyby měření aditivně,
klesá relativní odchylka $\bf \delta$ hyperbolicky s~hodnotou $\bf x$.\\
Aditivní chyby měřicího přístroje omezují rozsah použití přístroje v~oblasti
malých hodnot vstupní veličiny $\bf x$.
\item V~případě čistě multiplikativních chyb měření je {\bf relativní chyba
citlivosti} (zde přímo třída přenosti přístroje)
\begin{equation} \bf
\delta_S= 100 \frac{\Delta_0}{x}
\end{equation}
konstantní. To obvykle platí jenom v~omezeném intervalu, uváděném na přístroji
výrobcem.
\item U~kombinovaný chyb měření lze {\bf celkovou chybu} rozepsat jako
součet aditivní $\bf \Delta_0$ a~multiplikativní $\bf \delta_S \: x$ složky
podle rovnice
\begin{equation} \bf
\Delta= \Delta_0 + \delta_S \: x.
\end{equation}
{\bf Celková redukovaná relativní chyba}
\begin{equation} \bf
\delta_R= \delta_0 + \delta_s \frac{x}{R}
\end{equation}
pak monotónně roste s~růstem $\bf x$.


K~vyjádření třídy přesnosti $\bf \delta_K$ se v~těchto případech užívají dva
údaje: redukovaná relativní chyba $\bf \delta_0$ a~chyba vzniklá  na horní
hranici měřicího rozsahu $\bf \delta_S$.
\begin{equation} \bf
\delta_K= \delta_0 + \delta_s.
\end{equation}
\end{enumerate}
\unitlength=1.00mm
\linethickness{0.4pt}
%\begin{picture}(150.67,96.00)
\begin{picture}(150.67,100.00)
\emline{9.67}{55.00}{1}{9.67}{95.00}{2}
\emline{9.67}{55.00}{3}{50.67}{55.00}{4}
\emline{9.67}{55.00}{5}{49.67}{94.00}{6}
\put(6.67,92.00){\makebox(0,0)[cc]{$y$}}
\put(43.67,51.00){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
\emline{59.67}{55.00}{7}{59.67}{95.00}{8}
\emline{59.67}{55.00}{9}{100.67}{55.00}{10}
\emline{59.67}{55.00}{11}{99.67}{94.00}{12}
\put(56.67,92.00){\makebox(0,0)[cc]{$y$}}
\put(93.67,51.00){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
\emline{109.67}{55.00}{13}{109.67}{95.00}{14}
\emline{109.67}{55.00}{15}{150.67}{55.00}{16}
\emline{109.67}{55.00}{17}{149.67}{94.00}{18}
\put(106.67,92.00){\makebox(0,0)[cc]{$y$}}
\put(143.67,51.00){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
\emline{8.67}{5.00}{19}{8.67}{45.00}{20}
\emline{8.67}{5.00}{21}{49.67}{5.00}{22}
\put(5.67,42.00){\makebox(0,0)[cc]{$\Delta$}}
\put(42.67,1.00){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
\emline{58.67}{5.00}{23}{58.67}{45.00}{24}
\emline{58.67}{5.00}{25}{99.67}{5.00}{26}
\emline{58.67}{5.00}{27}{98.67}{44.00}{28}
\put(55.67,42.00){\makebox(0,0)[cc]{$\Delta$}}
\put(92.67,1.00){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
\emline{108.67}{5.00}{29}{108.67}{45.00}{30}
\emline{108.67}{5.00}{31}{149.67}{5.00}{32}
\put(105.67,42.00){\makebox(0,0)[cc]{$\Delta$}}
\put(142.67,1.00){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
\emline{8.67}{18.00}{33}{46.67}{18.00}{34}
\emline{108.67}{18.00}{35}{137.67}{44.00}{36}
\put(18.67,5.00){\vector(0,1){13.00}}
\put(18.67,18.00){\vector(0,-1){13.00}}
\put(79.67,5.00){\vector(0,1){20.00}}
\put(79.67,25.00){\vector(0,-1){20.00}}
\put(22.67,11.00){\makebox(0,0)[cc]{$\Delta_0$}}
\put(67.67,27.00){\makebox(0,0)[lc]{$\delta_0=0$}}
\put(84.67,16.00){\makebox(0,0)[lc]{$\delta_s x_1$}}
\put(131.67,5.00){\vector(0,1){13.00}}
\put(131.67,18.00){\vector(0,1){20.00}}
\put(131.67,38.00){\vector(0,-1){20.00}}
\put(131.67,18.00){\vector(0,-1){13.00}}
\put(137.67,28.00){\makebox(0,0)[lc]{$\delta_s x_1$}}
\put(135.67,11.00){\makebox(0,0)[lc]{$\delta_0$}}
\put(131.67,1.00){\makebox(0,0)[cc]{$x_1$}}
\put(79.67,1.00){\makebox(0,0)[cc]{$x_1$}}
\emline{9.67}{61.00}{37}{45.67}{96.00}{38}
\emline{16.67}{55.00}{39}{49.67}{87.00}{40}

%JH \emline{59.67}{55.00}{41}{90.67}{95.00}{42}
\put(59.67,55.00){\line(3,4){30}}
 %instead

%JH \emline{59.67}{55.00}{43}{98.67}{83.00}{44}
\put(59.67,55.00){\line(4,3){40}}
 %instead

\emline{109.67}{58.00}{45}{138.67}{96.00}{46}
\emline{113.67}{55.00}{47}{146.67}{81.00}{48}
\put(15.00,99.00){\makebox(0,0)[lc]{ADITIVNÍ MODEL:}}
\put(61.00,99.00){\makebox(0,0)[lc]{MULTIPLIKATIVNÍ MODEL:}}
\put(112.67,99.00){\makebox(0,0)[lc]{KOMBINOVANÝ MODEL:}}
\put(108.67,18.00){\dashbox{3.00}(38.00,0.00)[cc]{}}
%\multiput(109.00,63.00)(4,0){10}{\line(1,0){3}}
\put(41.67,72.00){\makebox(0,0)[cc]{$y_{norn}$}}
\put(87.67,69.00){\makebox(0,0)[cc]{$y_{norn}$}}
\put(137.67,67.00){\makebox(0,0)[cc]{$y_{norn}$}}
\end{picture}\\
%------------------------
%\begin{figure}[htb]
% \ingr{chyby}
% \vspace*{10cm}
%\caption{Pás neurčitosti a základní modely chyb měřicích přístrojů }
%    \end{figure}
%---------------------------------------------------------------------

\subsection{Zařazení přístroje do třídy přesnosti}


Pro zařazení měřicího přístroje do některé z~tříd přesnosti je rozhodující
největší hodnota redukované mezní chyby zjištěná v~celém měřicím rozsahu.
Největší mezní chyba  nesmí překročit při zvolené třídě přesnosti $\bf p$
hodnotu $\bf R \: p/100$. Třída přesnosti se neoznačuje znaménkem, protože
redukovaná mezní chyba může být se stejnou pravděpodobností kladná či záporná.
Skutečná hodnota měřené veličiny $\bf \mu$ bude potom ležet v~intervalu
\begin{equation} \bf
\mu = x_i \pm \frac{R \: p}{100}.
\end{equation}
Přístroje se podle třídy přesnosti třídí do řady 6 \%, 4 \%, 2.5 \%, 1.5 \%,
1.0 \%, 0.5 \%, 0.2 \%, 0.1 \%, 0.05 \%, 0.02 \%, 0.01 \%, 0.005 \%, 0.002 \%,
0.001 \%, doplněné o~značku typu chyby $\bf \delta_S$ (multiplikativní),
$\bf \delta_0$ (aditivní) nebo $\bf \delta_K/\delta_0$ kombinované podle
následujícího schématu:
\begin{enumerate}
\item Pro čistě aditivní chyby je třída přesnosti vyjádřena redukovanou
relativní chybou $\bf \delta_0$, kde $\bf R$ je maximum stupnice, např.
$\bf \delta_0 = 1.5 \%$ se zapíše 1.5.
\item  U~přístrojů se silně nerovnoměrnou stupnicí se uvádí třída přesnosti
formou zatrženého čísla a~rozsahem stupnice $\bf R$.
\item Pro čistě multiplikativní chyby je třída přesnosti vyjádřena chybou
citlivosti $\bf \delta_S$ a~udává se číslem v~kroužku, například
$\delta_S = 1.5 \%$ se zapíše
\begin{tabular}{c} \input p15.pic \end{tabular}
%\begin{figure}
%\begin{picture}(50,30)(0,0)
%\put(7.0,50.0){\circle{14.00}} \put(7.0,50.00){\makebox(0,0)[cc]{1,5}}
%\end{picture}
%\end{figure}
\item Pro případ simultánního působení aditivních a~multiplikativních
chyb se třída přesnosti uvádí ve tvaru zlomku $\bf \delta_K/\delta_0$.
Zápis 1.5/1 tedy vyjadřuje $\delta_K = 1.5 \%$ a~$\delta_0 = 1 \%$.
\end{enumerate}
\centerline{\begin{tabular}{|l|c|l|l|l|} \hline
Druh chyby & Označení & Rozsah &Relativní  & Absolutní\\
           & třídy přesnosti & stupnice $\bf R$  & chyba $ \delta$ (\%)  &
           chyba $\Delta$\\
           \hline \hline
& & & &  \\
Aditivní & $\bf p$ & $\bf x_{max} \: \: \: (x_{min} = 0)$ &
$ \bf p \: \frac{x_{max}}{x}$ & $ \bf p \: \frac{x_{max}}{100}$ \\
%& & & &  \\
\cline{2-5}
& & & &  \\
 & \input zatr.pic
 %$ \bf p$
 & $\bf x_{max} - x_{min}$  &
$\bf p \: \frac{x_{max} - x_{min}}{x}$  &
$\bf p \: \frac{x_{max} - x_{min}}{100}$\\
& & & &  \\
\hline
%& & & &  \\
Multiplikativní & \input p.pic
%$\bf p$
&$\bf x_{max} \: \:(x_{min} = 0)$ &
$\bf p$ & $\bf p \: \frac{x}{100}$\\
%& & & &  \\
\hline
& & & &  \\
Smíšené & $ \bf p_1/p_2$ & $\bf  x_{max} \: \:(x_{min} = 0) $ &
$\bf p_1 + p2 (\frac{x_{max}}{x}-1)$ &
$\bf \frac{p_1 x + p_2 (x_{max}-x)}{100}$ \\
& & & &  \\
\hline
\end{tabular}}

\subsection{Zaokrouhlování chyby výsledku}

Při výpočtech mezní chyby měřícího přístroje se podle $[6]$ užívá následujícího
zaokrouhlování:
\begin{itemize}
\item Pokud je první významná číslice jednička nebo dvojka, vyjadřuje se
chyba měření prvními dvěma významnými číslicemi
\item Pokud je první významná číslice trojka nebo vyšší, užívá se pouze
tato číslice
\end{itemize}
Výsledek měření se  zaokrouhluje na stejný počet desetinných míst, jako má
absolutní mezní chyba přístroje.\\
$102 \pm 3$ mV\\
$101,7 \pm 2,5$ mV
%================================================

\subsection{Příklady určování chyby přístrojů}

\subsubsection{Základní pojmy}

{\bf ppm}   - jedna miliontina\\
{\bf MH}   - měřená hodnota\\
{\bf MHMR} - maximální hodnota měřícího rozsahu
            (většinou odpovídá délce stupnice)\\
{\bf dig}  - číslice

\subsubsection{Způsoby uvádění chyb}

\begin{itemize}
\item u~ručkových přístrojů je uvedena třída přesnosti (například:
0,5 )
\item 0,001 \% MH + 0,01 \% MHMR
\item 50 ppm MH + 20 ppm MHMR
\item 5 \% MH + 20 dig
\item 5 \% + 20 dig
\item 1 \% + 0,003
\item 2 \% č.h + 1 dig
\item 0,05 \% of Reading + 0,02 \% Full Scale
\item 0.1 \% of rdg + 5 dgt
\item 0.0020 \% of reading + 0.0006 \% of range
\end{itemize}
Výpočtem získáme {\bf krajní chybu}. To znamená, že výsledkem měření je
interval, ve kterém s~99,7 \% pravdě\-po\-dob\-nos\-tí leží skutečná hodnota
měřené veličiny.
%------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=10cm}{m1t330}
% \vspace*{10cm}
\caption{Závislost velikosti relativní chyby na velikosti měřeného napětí
pro voltmetr M1T 330 (od 300 mV do 3 V) a~multimetr M1T 380 (od 150 mV do 1.5 V)}
    \end{figure}

\subsubsection{Ručkové přístroje}

Ampérmetr má třídu přesnosti 0,5\\
Zvolený rozsah je 1,2 A\\
Ručička ukazuje 0.845A\\
Chyba je $ 0,5 \ . \  1,2/100 =0,006 A$ tj. 0,7 \%   \\
$ I = (0,845 \pm 0,006)$ A


\subsubsection{Multimetr METEX M - 3850}

Na rozsahu 4 V~je chyba 0.3 \% č.h. + 1 dig.\\
Přístroj ukazuje 3,912 V\\
Chyba je $0,3 \ . \  3,912/100 \ + \ 0,001 = 0,013$ V\\
$U=(3,912 \pm 0,013)$ V

%----------------------------------------------

\subsubsection{Multimetr PROTEK 506}

Na rozsahu 4 V~je chyba 0.5 \% č.h. + 2 dig.\\
Přístroj ukazuje 3,912 V\\
Chyba je $0,5 \ . \  3,912/100 \ + \ 0,002 = 0,022$ V\\
$U=(3,912 \pm 0,022)$ V

%----------------------------------------------------

\subsubsection{Multimetr METEX M 4650 CR}

Na rozsahu 2 V~je chyba 0.1 \% č.h. + 5 dig.\\
Přístroj ukazuje 1,9123 V\\
Chyba je $0,1 \ . \  1,9123/100 \ + \ 0,0005 = 0,0024$ V\\
$U=(1,9123 \pm 0,0024)$ V


\subsubsection{Voltmetr M1T 330}

Na rozsahu 300 mV je chyba 0,01 \% MH + 0,01 \% MHMR\\
Přístroj ukazuje 284,56 mV\\
Chyba je $ 0,01 \ . \ 284,56/100 \ + \ 0.01 \ . \ 300/100 = 0,06$ mV,
což je 0,021 \%.
Stejná hodnota chyby v~\% se zobrazí na displeji po stlačení tlačítka
{\bf CHYBA} na voltmetru.\\
$U=(284,56 \pm 0,06)$ mV

\subsubsection{Multimetr M1T 380}

%---------------------------------------------------------------------
Pro měření stejnosměrného napětí je uvedena chyba:
50 ppm MH + 20 ppm MHMR\\
Rozsah je 15 V\\
Přístroj ukazuje 14,2338 V\\
Chyba je $10^{-6} \ . \ 50 \ . \ 14,2338 \ + \ 10^{-6} \ . \ 20 \ . \ 15 =
0,0010$ V\\
$ U = (14,2338 \pm 0,0010)$ V

%----------------------------------------

\subsubsection{ Měřič RLCG BM 595}

Při měření kapacity kondenzátoru ukazuje přístroj hodnotu C = 67,82 nF\\
Zvolený rozsah je 100 nF\\
Chyba přístroje uvedená v~manuálu je $0,1 \% + 2 dig$\\
Chyba měřené hodnoty je $0,1 \ . \ 67,82/100 \ + \ 0,02 = 0,09$ nF\\
$ C = (67,82 \pm 0,09)$ nF.
 %--------------------------

\section{Měření elektrických veličin}

Měření elektrických veličin nabývá v~současné době na významu. Automatizace
měřícího procesu totiž vyžaduje, aby se i~neelektrické veličiny převedly
pomocí čidel na elektrické. Většinou se převádí měřená veličina na
stejnosměrné napětí. Setkávám se však i~z~převodem neelektrických veličin
na proud, na odpor nebo na "frekvenci" (například na napětí obdélníkového
průběhu, jehož frekvenci je možné měřit počítáním pulzů za zvolený časový
interval pomocí čítače).
Dále se budeme podrobněji zabývat měřením stejnosměrného napětí. Rozlišujeme
dva základní typ voltmetrů:
\begin{itemize}
\item {\bf Analogové} měřicí přístroje ukazují výsledek měření pomocí ručky
(ručkové měřicí přístroje)
\item {\bf Číslicové (digitální)}  přístroje dávají výsledné napětí v~číslicové
podobě. Rozlišujeme dva základní typy číslicových měřicích přístrojů
  \begin{itemize}
   \item  zobrazení jen na displeji, bez možnosti připojení k~počítači
   \item  s~možností připojení na počítač
  \end{itemize}
\end{itemize}
%--------------------------------------

\subsection{Problémy při současném měření proudu a~napětí}

K~základním elektrickým měření patří současné měření proudu procházejícího
určitým elektronickým prvkem a~tomuto proudu odpovídajícího napětí na tomto
prvku. S~tímto měřením se setkáváme například při měření voltampérových
charakteristik. K~měřenému prvku je nutno současně připojit voltmetr
i~ampérmetr, což může způsobit určité problémy, protože tyto přístroje se
pak mohou nepříznivě ovlivňovat.


V~zasadě jsou možné dva způsoby připojení. Pro každou konkrétní situaci
je nutné zvolit nejvhodnější metodu, aby chyba měření byla co nejmenší.\\
\unitlength=1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(149.02,59.93)
\emline{5.00}{10.00}{1}{60.00}{10.00}{2}
\put(20.00,50.00){\circle{12.17}}
\put(60.00,30.00){\circle{12.17}}
\emline{60.00}{10.00}{3}{60.00}{24.00}{4}
\emline{26.00}{50.00}{5}{60.00}{50.00}{6}
\emline{60.00}{50.00}{7}{60.00}{36.00}{8}
\emline{5.00}{50.00}{9}{5.00}{35.00}{10}
\emline{36.00}{50.00}{11}{36.00}{40.00}{12}
\emline{36.00}{10.00}{13}{36.00}{20.00}{14}
\put(36.00,50.00){\vector(1,0){10.00}}
\put(29.00,50.00){\vector(1,0){5.00}}
\put(36.00,50.00){\vector(0,-1){6.00}}
\put(60.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{V}}
\put(20.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{A}}
\put(41.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{R}}
\put(46.00,54.00){\makebox(0,0)[lt]{$I_v$}}
\emline{5.00}{50.00}{15}{14.00}{50.00}{16}
\put(33.00,20.00){\framebox(6.00,20.00)[cc]{}}
\put(5.00,34.00){\circle{2.00}}
\put(5.00,27.00){\circle{2.00}}
\emline{5.00}{10.00}{17}{5.00}{26.00}{18}
\put(38.00,46.00){\makebox(0,0)[lt]{$I_r$}}
\put(32.00,54.00){\makebox(0,0)[lt]{$I_a$}}
\put(36.00,50.00){\circle*{1.50}}
\put(36.00,10.00){\circle*{1.50}}
\emline{89.00}{10.00}{19}{145.00}{10.00}{20}
\put(141.00,20.00){\framebox(6.00,20.00)[cc]{}}
\put(126.00,50.00){\circle{14.00}}
\put(106.00,30.00){\circle{14.00}}
\emline{144.04}{49.97}{21}{132.94}{49.97}{22}
\emline{144.04}{49.97}{23}{144.04}{40.02}{24}
\emline{106.05}{10.00}{25}{106.05}{22.95}{26}
\emline{106.05}{37.03}{27}{106.05}{49.97}{28}
\emline{106.05}{49.97}{29}{119.00}{49.97}{30}
\emline{106.05}{49.97}{31}{88.98}{49.97}{32}
\emline{88.98}{49.97}{33}{88.98}{35.04}{34}
\emline{88.98}{10.00}{35}{88.98}{24.94}{36}
\put(88.98,34.04){\circle{1.99}}
\put(88.98,25.93){\circle{1.99}}
\emline{144.04}{19.96}{37}{144.04}{10.00}{38}
\put(134.93,49.97){\vector(1,0){5.12}}
\put(144.04,49.97){\vector(0,-1){4.98}}
\put(106.05,49.97){\circle*{1.50}}
\put(106.05,10.00){\circle*{1.50}}
\put(125.97,49.97){\makebox(0,0)[cc]{A}}
\put(106.05,30.06){\makebox(0,0)[cc]{V}}
\put(149.02,30.06){\makebox(0,0)[cc]{R}}
\put(139.06,54.96){\makebox(0,0)[lt]{$I_a$}}
\put(146.03,46.99){\makebox(0,0)[lt]{$I_r$}}
\put(88.98,59.93){\makebox(0,0)[lt]{METODA B:}}
\put(116.02,30.06){\makebox(0,0)[cc]{$U_v$}}
\put(5.00,59.93){\makebox(0,0)[lt]{METODA A:}}
\end{picture}

\subsubsection{Metoda A~- voltmetr je zapojen paralelně přímo k~měřenému prvku}

V~tomto případě proud tekoucí voltmetrem způsobuje, že ampérmetr neměří
proud tekoucí odporem, ale proud větší o~proud tekoucí voltmetrem.
Názorně to ukazuje následujíc obrázek, který ukazuje schéma na obrázku
pro případ měření odporu $\bf R$.\\
Označíme-li napětí na odporu $\bf R$ jako $\bf U_r$ 
a~proud tekoucí odporem jako $\bf I_r$, pak $\bf R = U_r/I_r$.\\
Napětí na svorkách voltmetru označme $\bf U_v$, proud tekoucí ampérmetrem
označme $\bf I_a$.\\
Je-li vnitřní odpor voltmetru $\bf R_v$, pak proud
tekoucí voltmetrem $\bf I_v = U_v/R_v$.\\
K~určení odpor $\bf R$ je nutno změřit $\bf U_r$ a~$\bf I_r$,
protože $\bf R = U_r/I_r$.\\
Měříme
však $\bf U_v$ a~$\bf I_a$.\\
Platí $\bf U_r = U_v$, ale $ I_a  \neq I_r$\\
$\bf I_a = I_r + I_v = I_r + U_v/R_v \: \Rightarrow \:
 I_r = I_a -I_v = I_a - \frac{U_v}{R_v}$\\
Ampérmetr měří větší proud o~proud tekoucí voltmetrem, voltmetr měří
přímo napětí $\bf U_r$.
\begin{equation}
 \bf R = \frac{U_r}{I_r} = \frac{U_r}{Ia - Iv} =
\frac{U_v}{I_a - \frac{U_v}{R_v}}   \label{eq : metodaA}
\end{equation}
Tato metoda je vhodná pro případy, kdy svorkový odpor voltmetru $\bf R_v$
je větší jak měřený odpor R. Zcela nevhodna je pro případy, kdy odpor
$\bf R_v$  je několikrát menší, než měřený odpor $\bf R$. Pak i~po opravách
na vliv voltmetru je chyba měření odporu velká. Používá se například při
měření V/A charakteristiky usměrňovací diody v~propustném směru, ale je
zcela nevhodná pro případ měření V/A charakteristiky této diody v~závěrném
směru.


Velikost vlivu voltmetru při vlastním měření můžeme snadno posoudit tak,
na chvíli odpojíme jeden přívod voltmetru. Proud ampérmetrem poklesne
o~proud tekoucí voltmetrem.


%-------------------------------------------------------------------------

\subsubsection{Metoda B - ampérmetr je zapojen do série s~měřeným prvkem}

Schéma zapojení pro případ měření velikosti odporu R ukazuje
obrázek. V~tomto případě ampérmetr měří přímo proud procházející odporem
R, ale voltmetr měří součet napětí na odporu R a~voltmetru.
Opět označme napětí na odporu $\bf R$ jako $\bf U_r$ 
a~proud tekoucí odporem jako $\bf I_r$, pak $\bf R = U_r/I_r$.\\
Napětí na svorkách voltmetru označme $\bf U_v$, proud tekoucí ampérmetrem
označme $\bf I_a$.\\
Je-li vnitřní odpor ampérmetru $\bf R_a$, pak úbytek
napětí na  ampérmetru je  $\bf U_a = R_a \: I_a$.\\
Platí $\bf I_r = I_a$, ale\\
$\bf U_r \neq U_v$, protože $\bf U_v = U_a + U_r = R_a \: I_a + U_r$\\
\begin{equation} \bf
R = \frac{U_r}{I_r}= \frac{U_v-U_a}{I_a}=\frac{U_v-R_a \: I_a}{I_a}
\label{eq : metodaB}
\end{equation}
{\bf Poznámka:} V~případě že měření provádíme v~obvodu střídavého proudu,
je nutné navíc počítat s~fázovými posuvy $[2]$. Pro ideální kondenzátor
při měření pro napětí o~frekvenci 50 Hz je fázový 90 stupňů, jak to názorně
ukazuje  obrázek.
\unitlength=1mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(65.00,56.00)
\put(10.00,51.00){\vector(0,-1){31.00}}
\put(10.00,51.00){\vector(1,0){20.00}}
\put(10.00,51.00){\vector(2,-3){20.67}}
\put(50.00,51.00){\vector(1,-2){14.00}}
\put(50.00,51.00){\vector(1,0){14.00}}
\put(50.00,51.00){\vector(0,-1){28.00}}
\put(10.00,56.00){\makebox(0,0)[lt]{METODA A:}}
\put(50.00,56.00){\makebox(0,0)[lt]{METODA B:}}
\put(10.00,12.00){\makebox(0,0)[lt]{$I_c = \sqrt{I_a^2 - I_v^2}$}}
\put(50.00,12.00){\makebox(0,0)[lt]{$U_c = \sqrt{U_v^2 - U_a^2}$}}
\put(32.00,49.00){\makebox(0,0)[lt]{$I_v$}}
\put(31.00,23.00){\makebox(0,0)[lt]{$I_a$}}
\put(12.00,22.00){\makebox(0,0)[lt]{$I_c$}}
\put(65.00,48.00){\makebox(0,0)[lt]{$U_a$}}
\put(52.00,24.00){\makebox(0,0)[lt]{$U_c$}}
\put(65.00,26.00){\makebox(0,0)[lt]{$U_v$}}
\end{picture}\\
%----------------
{\bf Příklad:} Určete chyby při měření odporu oběma metodami (zanedbejte chyby
$R_v$ a~$R_a$).\\
Metoda A~(viz rovnice ({\ref{eq : metodaA}})):
$$ \bf R =  \frac{U_v}{I_a - \frac{U_v}{R_v}} \;  \;\Rightarrow \; \;
\frac{\partial R}{\partial U_v}=\frac{I_a \: R_v^2}{(U_v-I_a\: R_v)^2};
\; \; \; \;
\frac{\partial R}{\partial I_a}=\frac{-U_v \: R_v^2}{(U_v-I_a\: R_v)^2}.
$$
$$\bf
\delta(R)=\frac{R^2_v}{(U_v-I_a \: R_v)^2}
\sqrt{I_a^2 \delta^2(Uv) + U_v^2 \delta^2(Ia)}
$$
Metoda B (viz rovnice ({\ref{eq : metodaB}})):
$$ \bf R = \frac{U_v-R_a \: I_a}{I_a}
= \frac{U_v}{I_a} - R_a
\; \; \Rightarrow \; \;
\frac{\partial R}{\partial I_a} = - \frac{U_v}{I_a^2}; \; \; \; \;
\frac{\partial R}{\partial U_v} =  \frac{1}{I_a}
$$
$$ \bf
\delta(R) = \frac{1}{I_a} \; \sqrt{\delta^2(U_v) + (\frac{U_v}{I_a})^2 \;
\delta^2(I_a)}
$$
%------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=10cm}{metodaab}
% \vspace*{10cm}
\caption{Závislost relativní chyby odporu vyjádřené v~procentech na
napětí použitém při měření. Křížky pro metodu A, kroužky pro metodu B.}
    \end{figure}
%---------------------------------------------------------------------
Situaci graficky znázorníme pro následující případ:\\
Měříme odporu R = 60000 $\Omega$. Použijeme voltmetr  o~rozsahu
24 V, vnitřním odporu $R_v$ = 120000 $\Omega$ a~třídě přesnosti  1 
a~ampérmetr o~rozsahu 0,6 $\mu A$, vnitřním odporu $R_a$ = 1500 $\Omega$ a~třídě
přesnosti 1,5. Z~obrázku je zřejmé, že metoda B je o~něco přesnější.
Nejdůležitější je však použít vhodné měřící přístroje a~správně zvolit rozsahy,
aby bylo možné jak
proud, tak napětí měřit v~druhé polovině stupnice.

\subsection{Změna rozsahu přístrojů}

Poměrně snadno se zvětšují rozsahy ampérmetrů a~voltmetrů. U~ampérmetru
můžeme zvětšit rozsah pomocí bočníku, u~voltmetru pomocí předřadného rezistoru
zapojeného do série s~voltmetrem. Je však také možné "zmenšit" rozsah
přístroje tak, že použijeme měřící zesilovač (vytvořený většinou z~operačních
zesilovačů). Měřicí zesilovače se používají jak u~analogových, tak číslicových
měřicích přístrojů. Měřicí zesilovače však mohou plnit i~celou řadu jiných
funkcí například změnu polarity měřeného napětí, převod proudu na napětí,
zvětšují vstupní odpor přístroje atd.
\newpage

\subsubsection{Změna rozsahu ampérmetrů}

%===================================================
\unitlength=1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(80.00,73.00)
\emline{10.00}{10.00}{1}{10.00}{70.00}{2}
\put(25.00,67.00){\framebox(30.00,6.00)[cc]{}}
\emline{10.00}{70.00}{3}{25.00}{70.00}{4}
\emline{55.00}{70.00}{5}{70.00}{70.00}{6}
\emline{70.00}{70.00}{7}{70.00}{10.00}{8}
\put(40.00,40.00){\circle{14.00}}
\emline{11.00}{40.00}{9}{33.00}{40.00}{10}
\emline{47.00}{40.00}{11}{70.00}{40.00}{12}
\put(35.00,10.00){\circle{10.00}}
\put(42.00,10.00){\circle{10.00}}
\emline{10.00}{10.00}{13}{30.00}{10.00}{14}
\emline{47.00}{10.00}{15}{70.00}{10.00}{16}
\put(70.00,40.00){\circle*{2.00}}
\put(10.00,40.00){\circle*{2.00}}
\put(10.00,40.00){\vector(0,1){10.00}}
\put(10.00,40.00){\vector(1,0){10.00}}
\put(10.00,21.00){\vector(0,1){9.00}}
\put(40.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{MP 80}}
\put(35.00,65.00){\makebox(0,0)[lt]{$R_b$}}
\put(35.00,31.50){\makebox(0,0)[lt]{$R_a$}}
\put(13.00,48.00){\makebox(0,0)[lc]{$I_b$}}
\put(13.00,32.00){\makebox(0,0)[lc]{$I_n$}}
\put(17.00,44.00){\makebox(0,0)[lt]{$I_a$}}
\put(80.00,65.00){\makebox(0,0)[lb]{$I_a$ - základní rozsah přístroje}}
\put(80.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{$I_n$ - nový rozsah}}
\put(80.00,55.00){\makebox(0,0)[lb]{$R_b$ - odpor bočníku}}
\put(80.00,50.00){\makebox(0,0)[lb]{$R_a$ - odpor přístroje na základním rozsahu}}
\put(80.00,45.00){\makebox(0,0)[lb]{$R_n$ - svorkový odpor na novém rozsahu}}
\put(80.00,30.00){\makebox(0,0)[lb]{$I_n = I_a + I_b$}}
\put(80.00,20.00){\makebox(0,0)[lb]{$I_b R_b = I_a R_a$}}
\put(80.00,10.00){\makebox(0,0)[lb]{$\frac{1}{R_n} = \frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_b}$}}
\end{picture}\\
Z~rovnic uvedených na obrázku vyplývá pro velikost bočníku následující vztah
\begin{equation} \bf
R_b = \frac{R_a}{\frac{I_n}{I_a} - 1}
\end{equation}
%============================================

\subsubsection{Změna rozsahu voltmetru}

\unitlength=1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(80.00,69.08)
\put(40.00,10.00){\circle{10.00}}
\put(20.00,60.00){\framebox(22.00,5.00)[cc]{}}
\put(56.00,63.00){\circle{12.17}}
\emline{62.00}{63.00}{321}{70.00}{63.00}{322}
\emline{70.00}{63.00}{323}{70.00}{10.00}{324}
\emline{70.00}{10.00}{325}{45.00}{10.00}{326}
\emline{42.00}{63.00}{327}{50.00}{63.00}{328}
\emline{20.00}{63.00}{329}{10.00}{63.00}{330}
\emline{10.00}{63.00}{331}{10.00}{10.00}{332}
\emline{10.00}{10.00}{333}{35.00}{10.00}{334}
\put(56.00,63.00){\makebox(0,0)[cc]{MP 80}}
\put(27.00,56.00){\makebox(0,0)[lc]{$R_p$}}
\put(52.00,54.00){\makebox(0,0)[lc]{$R_v$}}
\put(10.00,39.00){\vector(0,1){8.00}}
\put(13.00,45.00){\makebox(0,0)[lt]{$I$}}
\put(80.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{$U_v$ - základní rozsah přístroje}}
\put(80.00,55.00){\makebox(0,0)[lb]{$U_n$ - nový rozsah}}
\put(80.00,50.00){\makebox(0,0)[lb]{$R_p$ - predřadný odpor}}
\put(80.00,45.00){\makebox(0,0)[lb]{$R_v$ - odpor přístroje na základním rozsahu}}
\put(80.00,39.00){\makebox(0,0)[lb]{$R_n$ - Odpor na novém rozsahu}}
\put(80.00,30.00){\makebox(0,0)[lb]{$U_n = I~\: R_p + U_v$}}
\put(80.00,20.00){\makebox(0,0)[lb]{$U_v = R_v \: I$}}
\put(80.00,10.00){\makebox(0,0)[lb]{$R_n = R_v + R_p$}}
\end{picture}\\
Z~rovnic uvedených v~obrázku vyplývá, že velikost předřadného odporu určíme ze
vztahu.
\begin{equation} \bf
R_p =  R_v (\frac {U_n}{U_v}- 1).
\end{equation}
{\bf Poznámka} Musíme si uvědomit, že na základním rozsahu je rozlišování mezi
voltmetrem a~ampérmetrem u~ručkových přístroje jen formální.
Například mikroampérmetr MP 180 z~rozsahem
100 $\mu A$ má svorkový odpor 2000 $\Omega$ a~teče-li jím proud 100 $\mu A$,
je na jeho svorkách úbytek napětí 200 mV. Můžeme jej proto pokládat i~za
voltmetr s~rozsahem 200 mV.\\
{\bf Úkol:} Z~mikroampérmetru s~rozsahem 100 $\mu A$ se svorkovým odporem
2000 $\Omega$ vytvořte voltmetr s~rozsahem 10~ V.\\
{\bf Řešení:} Do série s~mikroampérmetrem je nutno zapojit odpor o~velikosti
$R_p = 2000 (10/0.2 - 1)= 2000 * 49 = 980 000 \: \Omega$.
%=========================================================================

\subsection{Ručkové měřicí přístroje}

\subsubsection{Měřící systém}

Jednotlivé typy přístrojů poznáme podle podle následujících značek:\\
\centerline{\begin{tabular}{|l|l|} \hline
Magnetoelektrické měřící přístroje (přístroje s~otočnou cívkou) & \input{ot_civ.pic} \\ \hline
Elektromagnetické přístroje (přístroje s~pevnou cívkou)& \input{el_mag.pic} \\ \hline
Elektrodynamické přístroje & \input {dynam.pic} \\
\hline
\end{tabular}}\\
{\bf Magnetoelektrické měřící přístroje} (přístroje s~otočnou cívkou)\\
Měření u~ručkových přístrojů se provádí na principu vzájemného
silového působení pevné a~pohyblivé části. U~magnetoelektrického měřícího
přístroje je realizováno  silovým působením permanentního magnetu na
vodiče cívky, kterou prochází elektrický proud. Cívka je otočně umístěna
ve vzduchové mezeře pólovitého nástavce silného permanentního magnetu.
V~nulové poloze poloze drží cívku dvojice spirálovitých pružin, které
současně slouží k~přívodu proudu do cívky.
Měří jen stejnosměrná napětí a~proudy. Pro měření střídavých napětí 
a~proudů je nutno použít převodníku střídavé veličiny na stejnosměrnou.
To můžeme provést jednocestným nebo dvoucestným usměrněním proudu
polovodičovou diodou a~nebo pomocí aktivního převodníku s~operačními
zesilovači.




{\bf Elektromagnetické přístroje } (přístroje s~pevnou cívkou)\\
Měřící ústrojí se sestává z~cívky, kterou protéká měřený proud 
a~z~feromagnetických plíšků plíšků tvořících otočnou část. U~starší provedení
tohoto přístroje se do cívky vtahovalo feromagnetické jádro.
U~novějšího provedení tohoto typu přístroje se odpuzují  dva shodně
zmagnetované plíšky tj. pevný a~otočný (spojený s~ručkou přístroje).
Výchylka přístroje je úměrná druhé mocnině efektivní hodnoty proudu tekoucího
cívkou.


{\bf Elektrodynamické přístroje} (watmetry)\\
Pracují na principu vzájemného silového působení magnetického pole pevné 
a~magnetického pole otočné cívky umístěné v~dutině první cívky. Protože výchylka
je úměrná součinu dvou veličin, používají se nejčastěji k~měření výkonu a~jak
stejnosměrného proudu, tak proudu střídavého. Pevnou cívkou prochází proud
do spotřebiče, pohyblivou proud úměrný napětí na spotřebiči

\subsubsection{Poloha stupnice při čtení}

\input{poloha.pic}

\subsubsection{Značka druhu proudu (napětí)}

\centerline{\begin{tabular}{|l|l|} \hline
Stejnosměrný & $ - $ \\ \hline
Střídavý     & $ \sim $ \\  \hline
Stejnosměrný i~střídavý & $\simeq$\\ \hline
\end{tabular}}

\subsubsection{Izolační napětí}

{\bf Izolační napětí} udává zkušební bezpečnostní napětí. Udává se pomocí
čísla v~pěticípé hvězdičce. Je-li například v~hvězdičce číslo 2, je
bezpečnostní napětí 2 kV.

\subsubsection{Třída přesnosti}

{\bf Třída přesnosti} je uvedena číslem nad značkou druhu měřeného proudu
nebo napětí. Umožňuje určit chybu při měření. Má-li například přístroj
třídu přesnosti 1, tak výrobce zaručuje, ze změřená hodnota se neliší od
skutečné  hodnoty o~více, jak 1 procento ze zvoleného rozsahu.

\subsubsection{Vnitřní (svorkový) odpor přístroje}

Při vlastním měření s~voltmetrem i~ampérmetrem prochází vždy přístrojem
proud $\bf I$ a~na svorkách přístroje je úbytek napětí $\bf U$.
Vnitřní odpor $\bf R$ přístroje určíme z~Ohmova zákona:  $\bf R=U/I$.
Na základě Ohmova zákona můžeme také vnitřní odpor měřicího přístroje
změřit. U~většiny přístrojů bývá vnitřní odpor uveden v~manuálu nebo i~přímo
na měřicím přístroji.
\begin{itemize}
\item
U~{\bf voltmetrů} bývá uváděn pomocný údaj v~$\Omega/V$, ze kterého vnitřní odpor
vypočítáme tak, že tento údaj vynásobíme zvoleným rozsahem.\\
Je-li například na voltmetru uvedeno 5 000 $\Omega/V$ a~je zvolen rozsah 24 V, tak
vnitřní odpor voltmetru je 5000 . 24 = 120 000 $\Omega$.
\item
U~{\bf ampérmetrů} se většinou uvádí úbytek napětí $\bf U_a$ na svorkách
přístroje,
prochází-li přístrojem proud $\bf I_r$ rovný zvolenému rozsahu. Svorkový
odpor ampérmetru $\bf R_a = U_a/I_r$. Například u~Avometu je
$\bf U_a = 0.9$~{\bf V}. Na rozsahu 60 mA je pak vnitřní odpor
0,9/0,06= 15 $\Omega$.
\end{itemize}
Snahou výrobce je vždy zkonstruovat voltmetr tak, aby jeho svorkový odpor byl
co možná největší a~ampérmetr tak, aby jeho svorkový odpor byl co nejmenší.


Je nutné si uvědomit, že vnitřní odpor ampérmetru a~voltmetru závisí
jen na zvoleném rozsahu. Na celém měřicím rozsahu je konstantní.\\
%========================================================================

\subsection{Číslicový voltmetr}

Základní částí číslicových přístrojů je analogově číslicový
(analogově/digitální zkráceně A/D) převodník. Číslicové voltmetry je
možné rozdělit na přístroje komunikující s~počítačem a~na přístroje,
které mají výstup pouze na zobrazovač.
Číslicové voltmetry, které umožňuje přímou komunikaci s~počítačem
se vyrábí ve dvou základních provedeních
\begin{itemize}
\item  A/D převodník je na měřící kartě, která komunikuje s~počítač pomocí
paralelních portů počítače. Měřicí karta bývá často zasunuta přímo
v~počítači PC. Takovéto A/D převodníky jsou určeny pro rychlá měření.
Běžně se dosahuje doba převodu kolem 12 $\mu s$ a~přenos dat mezi převodníkem
a~pamětí počítačem se děje pomocí DMA (přímý přístup do paměti bez účasti
mikroprocesoru počítače). Nejběžnější jsou 12 bitové A/D převodníky.
Výsledkem převodu jsou v~tomto případě celá čísla v~rozmezí 0 až 4095.
Před A/D převodníkem většinou bývá multiplexer, který umožňuje přepínat na
vstup A/D převodníku napětí z~několika kanálů. Používají se jak multiplexery
unipolární, tak bipolární (diferenční).
\item  A/D převodník je mimo vlastní počítač a~komunikuje s~počítačem
pomocí standardního rozhraní RS 232C nebo HPIB. V~tomto případě se komunikace
mezi měřicím přístrojem a~počítačem děje tak, že se informace přenáší
ve formě řetězců (přenáší se ASCII kódy písmen a~číslic).
\end{itemize}
Pro měřený rychlých časových průběhů napětí slouží digitální  osciloskopy.
V~tomto případě se výsledky analogově číslicového převodu ukládají do
pamětí osciloskopu a~z~této paměti se po měření zobrazí na obrazovce nebo
přenesou do počítače.
Některé typy přístrojů (například i~u~nás vyráběný voltmetr M1T 330
a~multimetr M1T 380 z~Metry Blansko) jsou sami řízeny  mikroprocesory
zabudovanými v~přístrojích, které zajišťují automatickou kalibraci 
a~testování správné funkce přístroje. Mají zabudovaný napěťový normál 
a~přístroj dokáže sám korigovat vliv teplotních změn a~změny parametrů
součástek v~děličích vlivem stárnutí.\\
{\bf Poznámka:} Z~hlediska teorie chyb je jasné, ze A/D převodníky určené
pro rychlá měření měří napětí s~menší přesnosti, než A/D převodníky určené
pro pomalá měření.
Například u~voltmetru M1T 330 se napětí měří tak, že po příchodu příkazu
k~měření voltmetr počká, až síťové napětí prochází 0 a~doba A/D převodu
je rovna 1 periodě síťového napětí. Tím se vyloučí rušení měření síťovým
napětím.
%===================================================

\subsubsection{Analogově-číslicové převodníky}

V~praxi se používá celá řada analogově číslicových převodů. Podle $[10]$
nejběžnější jsou následující způsoby převodu:
\begin{itemize}
\item komparační metody
\item kompenzační metody
\item integrační metody
\end{itemize}
{\bf Komparační metody} převodu vychází z~porovnávání měřeného napětí
s~kvantovaným referenčním napětí. Porovnávání se může uskutečnit se všemi
možnými úrovněmi převodu najednou a~nebo postupně. Podle toho rozlišujeme
paralelní a~postupné komparační převodníky. Nejtypičtějším příkladem
je paralelní komparační převodník, protože je velice rychlý. Doba převodu
je dána jen zpožděním komparátoru  a~proto se doba převodu může pohybovat
kolem 10 ns. Nevýhodou je složitost převodníku, který musí obsahovat tolik
komparátorů, kolik je převáděných úrovní. Proto se takovýto převodník
používá  maximálně pro 8-bitové převodníky.\\[3 mm]
{\bf Kompenzační metody} jsou založeny na kompenzaci měřeného napětí
napětím vytvořeným vhodným způsobem. Podle způsobu jakým se mění
kompenzační napětí dělíme převodníky na převodníky s~konstantním přírůstkem
a~na převodníky s~odstupňovaným přírůstkem. Nejznámější je metoda {\it postupné
aproximace}, je to metoda s~odstupňovaným přírůstkem. Přírůstky kompenzačního
napětí jsou odstupňovány podle vah bitů číslicového slova.
Doba převodu bývá řádově $\mu s$.
Blokové schéma převodníku s~postupnou aproximací ukazuje obrázek. Obvod se
skládá z~číslicově analogového převodníku, komparátoru, aproximačního
registru a~generátoru hodinového kmitočtu o~frekvenci $\bf f_0$.
Převodník postupně srovnává měřené napětí s~napětími odpovídajícími
vahám jednotlivým bitů. Začne se od nejvyššího bitu (Moust significant
bit MSB) a~postupně se přidávají jednotlivá váhová napětí a~podle
reakce komparátoru se na danou pozici dosadí buď logická 1 nebo logická 0.
Výsledek měření tedy vždy dostaneme u~n-bitového převodníku po n taktech.
Na výstupu TP převodník signalizuje počítači konec převodu a~počítač přečte
data D1 až Dn.
%\\[3 mm]

\input aprox.pic\\
Obr.: Převodník s~postupnou aproximací

\input integrac.pic\\
Obr.: Integrační převodník

{\bf Integrační metody} jsou založeny na integraci měřeného napětí 
a~mezipřevodu na časový interval nebo frekvenci. Důležitou vlastností této
metody je filtrace rušivých signálů vyšších frekvencí. Doba integrace
se totiž volí jako násobek periody rušivého signálu. Nevýhodou je dlouhý
čas převodu (desítky a~stovky ms).
Integrační metoda má celou řadu modifikaci. Nejpoužívanější je
však převodník s~dvojitou (dvoutaktní) integraci, dvojnásobným pilovitým
průběhem) $[10]$.
Blokové schéma převodníku ukazuje obrázek. Po zadanou dobu $\bf T_1$
(první takt) se integruje měřené napětí $\bf U_m$. Hodnotě naintegrované
v~druhém taktu je pak úměrný číselný údaj převodníku. Přesnost převodu je
dána stabilitou zdroje referenčního napětí $\bf U_r$ a~v~podstatě nezávisí
na časové stálosti rezistoru $\bf R$, kapacitoru $\bf C$ a~zesílení
operačního zesilovače $\bf OZ$, protože doba jednoho převodu je rovna zlomku
sekundy a~po tuto dobu je možné udržet vlastnosti těchto  součástek
stálé.


Před začátkem měření je sepnut spínač $\bf S_2$ a~tím vybit kapacitor $\bf C $.
V~okamžiku začátku měření se rozpojí spínač $\bf S_2$ a~spínač $\bf S_1$
připojí na integrátor měřené napětí $\bf U_m$. Výstupní napětí integrátoru
$\bf U_i$ lineárně roste. Současně se sepnutím spínače $\bf S_1$ se
se otevře hradlo a~čítač počítá impulzy o~kmitočtu $\bf f_0$. Jakmile se
čítač naplní, vydá impulz $\bf P$ (naplnění trvá dobu $\bf T_1$), obvod
řízení přepne spínač $\bf S_1$ na referenční napětí $\bf U_r$, jehož
polarita je opačná než $\bf U_m$. Současně s~tím se znovu plní čítač a~to
po tzv. přetečení na konci intervalu $\bf T_1$, protože hradlo zůstává
otevřeno. Výstupní napětí integrátoru klesá k~nule. V~okamžiku, kdy dosáhne
nuly, zareaguje napěťový komparátor $\bf K$  a~obvod řízení uzavře hradlo.
Tím končí druhý takt $\bf T_2$. Nový obsah čítače je přes dekodér přenesen na
zobrazovač a~ukazuje změřené napětí. Poté je čítač vynulován signálem
$\bf N$ a~je vybit kapacitor $\bf C$ sepnutím spínače $\bf S_2$ a~celý
cyklus se může opakovat.


Počet impulzů v~čítači při vybíjení referenčním napětím je $N = f_0 \; T_2$.
Pro vlastní integrátor platí:
$$ \frac{U_m}{R \; C} \; T_1 = \frac{U_r}{R \; C} \; T_2,$$
neboť po nabití kapacitoru v~době $\bf T_1$ klesne napětí na něm za
dobu  $\bf T_2$ na nulu, takže:
\begin{equation} \bf
U_m = \frac{U_r}{T_1} \; T_2
\end{equation}
Počet impulzů v~čítači po druhé integraci je přímo úměrný měřenému napětí.\\
Pracuje-li převodník pro obě polarity napětí musí se měnit i~polarita
referenčního napětí.


Rychlost analogově číslicového převodníku s~dvojitou integraci můžeme zvýšit,
rozdělíme-li čas, ve kterém integrujeme referenční napětí na dva časové úseky,
přičemž strmost výstupního napětí z~integračního obvodu v~prvním úseku je
větší než ve druhém úseku. Mluvíme pak o~třítaktní integrační metodě se
snižováním náboje již v~prvním taktu. Na tomto principu pracuje i~převodník
v~multimetru M1T 380 z~Metry Blansko.


V~praxi se setkáme i~s~jinými způsoby dělení analogově číslicových
převodníků. Například v~$[11]$ se setkáme s~následujícím rozdělením.
\begin{itemize}
\item {\bf Převodníky bez zpětné vazby}, které bezprostředně
porovnávají vstupní analogové napětí s~referenčním napětím.
Výsledkem porovnání je výstupní slovo analogově číslicového převodníku
\item  {\bf Převodníky se zpětnou vazbou}, které porovnávají v~porovnávacím
obvodu vstupní analogové napětí s~analogovým napětím odvozeným  z~postupně
generovaného výstupního slova. Převod je ukončen v~okamžiku rovnosti obou
porovnávaných napětí.
\end{itemize}
Převodníky je možné rozdělit i~na:
\begin{itemize}
\item {\bf Synchronní} - převod probíhá v~určitém počtu kroků synchronně
s~hodinovými impulzy.
\item {\bf Asynchronní} - převod se též může uskutečnit v~několika krocích,
ale doba trvání jednotlivých kroků závisí výhradně na časové odezvě dílčích
obvodů převodníku, resp. na jejich zpoždění.
\end{itemize}
Jiné rozlišení převodníků je na
\begin{itemize}
\item {\bf Přímé} - převádí vstupní analogové napětí přímo na výstupní slovo
\item {\bf Nepřímé} - převádí nejprve určitým obvodem vstupní analogové napětí
na jinou analogovou veličinu (například  na dobu trvání impulzu, kmitočet
sledu impulzů) a~dalším obvodem získanou (odvozenou) analogovou veličinu
převádějí na číslicový tvar.
\end{itemize}
%======================================================================

\subsubsection{Parametry analogově číslicového převodníku}

Při volbě analogově číslicového převodníku
jsou z~hlediska teorie chyb nejdůležitější následující parametry:
\begin{itemize}
\item rychlost převodu
\item nelinearitu převodu (integrální i~diferenciální)
\item rozlišovací schopnost (počet bitů ve výstupním slovu)
\item chyba způsobenou dobou vzorkování
\item teplotní stabilitu
\item vstupní impedanci
\item šum (resp. jeho vliv na přesnost měření)
\end{itemize}
{\bf Rychlost převodu}\\
Opakovací kmitočet vzorkování musí být dostatečně vysoký
vzhledem k~nejvyšší složce měřeného vstupního napětí.
Na druhé straně vysoký opakovací kmitočet klade vysoké nároky na technické
vybavení.
Nejnižší přípustný opakovací kmitočet vzorkování je určen
Shanonovým-Kotelnikovým vzorkovacím teorémem, který říká, že pro nezkreslený
přenos je nezbytné přenést alespoň dva body amplitudy nejvyšší kmitočtové
složky analogového signálu. Kmitočet vzorkování musí tedy být vyšší, jak
dvojnásobek nejvyšší kmitočtové složky spektra analogového signálu\\[2 mm]
{\bf Rozlišovací schopnost}\\
Je určena počtem úrovní, do kterého jsme rozdělili rozsah vstupního
analogového napětí. Jelikož výstupní slovo analogově číslicového převodníku
se obvykle vyjadřuje v~přirozeném dvojkovém kódu, je často rozlišovací
schopnost vyjádřena počtem bitů ve výstupní slovu.\\
\centerline{\begin{tabular}{|c|l|l|} \hline
Počet bitů & Rozsah výstupního slova & Rozlišovací schopnost\\  \hline \hline
n & 0 až $2^n - 1$ & $1/(2^n - 1)$ \\      \hline
8 & 0 až 255 & 1/255 \\
10 & 0 až 1023 & 1/1023\\
12 & 0 až 4095 & 1/4095\\
16 & 0 až 65535 & 1/65535 \\ \hline
\end{tabular}}\\
{\bf Kvantizační chyba a~nelinearita}
Výstupní napětí může nabývat libovolnou diskrétní hodnotu v~mezích vstupního
rozsahu. Například u~12bitové převodníku jsou výsledkem měření celá čísla
v~rozmezí 0 až 4095. Tímto procesem vzniká chyba, kterou nazýváme
{\bf kvantizační chybou}. Kvantizační chyba může dosáhnout maximálně hodnoty,
která odpovídá $\pm \frac{1}{2}$ nejnižšího bitu výstupního slova převodníku.
Kvantizační chybu je možné zmenšit použitím více bitů ve výstupním slovu
převodníku.\\[2 mm]
Možné chyby převodníku ukazuje následující obrázek, který pro přehlednost
ukazuje  tříbitový převodník, jehož výstupní slovo obsahuje 3 bity\\
\centerline{\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline
Dekadicky & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline
Binárně & 000 & 001 & 010 & 011& 100 & 101 & 110 & 111\\ \hline
Výstup  &  0  & 1/8 & 2/8 & 3/8& 4/8 & 5/8 & 6/8 & 7/8\\ \hline
\end{tabular}}\\ [2 mm]
\input pom.pic
\input posun.pic\\
\input czisku.pic
\input neli.pic\\
U~převodníku se první přechod z~jedné úrovně na druhou nemusí vykonat
přesně na úrovni 1/2 hodnoty odpovídající nejbližšímu bitu ve výstupním
slovu. Vzniká chyba způsobená {\bf napěťovým posunem} ( obrázek b) ).
Dalšími možnými chybami je {\bf změna měřítka} (chyba zisku - obrázek c) ) 
a~nelinearita (obrázek c)).\\[2 mm]
{\bf Integrální a~diferenciální nelinearita}\\
Na obrázku a) jsme spojili středy kvantizačních úrovní spojnicí a.
Je-li tato spojnice přímkou, je převod lineární.\\
{\bf Integrální nelinearitu } $N_{int}$ definujeme rozdílem mezi maximální
a~minimální strmostí spojnice,
\begin{equation} \bf
N_{int} = \frac{k_{max} - k_{min}}{k_{střední}},
\end{equation}
kde $\bf k_{max}$ je maximální strmost spojnice a,  $\bf k_{min}$
minimální strmost spojnice, $\bf k_{střední}$ je střední strmost  spojnice,
přičemž strmost $\bf k$ je definována vztahem
$$ \bf k = \frac{dU_{výst}}{dU_{vstup}}.$$
Typická integrální nelinearita desetibitového  analogově  číslicového
převodníku s~postupnou aproximací je větší než $\pm 10^{-3}$.


U~ideálního  analogově číslicového převodníku jsou rozdíly mezi jednotlivými
dílčími úrovněmi stejně velké. Velikost těchto rozdílů jsme na obrázku a)
označili symbolem  $\bf s$. Jsou-li tyto rozdíly různě velké, vyskytuje
se u~příslušného převodníku {\bf diferenciální} nelinearita. Diferenciální
nelinearita
\begin{equation} \bf
\bf N_{dif} = \frac{s{max} - s_{min}}{s_{střední}},
\end{equation}
kde $s_{max}$ je maximální, $s_{min}$ minimální a~$s_{střední}$ střední
hodnota rozdílů dílčích úrovní.
Například u~10 bitového převodníku s~postupnou aproximací bývá diferenciální
nelinearita větší než $\pm 10^{-2}$.\\[2 mm]
{\bf Chyba způsobená dobou vzorkování}\\
Dobou převodu rozumíme časový interval, za který analogově číslicový
převodník převede analogové  napětí do digitální podoby.
Pro rychle měnící se měřené signály je vhodné zařadit před vlastní
převodník vzorkovací obvod s~analogovou pamětí. Tento obvod odebere
rychle vzorek analogového napětí během doby $t_{vzor}$ a~hodnotu si
zapamatuje alespoň pod dobu $t_{přev}$.\\
Například pro převod sinusového napětí $u(t) = U_m \; \sin \omega t$ nastane
největší chyba vlivem doby vzorkování zahájíme-li vzorkování při průchodu
sinusového napětí nulou, protože v~tomto okamžiku má sinusový  průběh
maximální strmost.$ \frac{du}{dt} = U_m \omega \cos \omega t \Rightarrow
\frac{du(0)}{dt} = U_m \omega = U_m 2 \pi f$. Aproximujeme-li kolem bodu
$t = 0$ sinusové napětí přímkou  $u = U_m 2 \pi \; f \; t$, pak za dobu
převodu $\Delta t$ nastane změna sinusového napětí
$\Delta u = U_m 2 \pi f \Delta t$. Pro sinusové napětí jde o~maximální možnou
chybu. Z~předcházejícího vztahu je možné určit maximální kmitočet sinusového
napětí pro zvolenou přípustnou   chybu způsobenou dobou převodu
$t_{přev}$ (nebo dobou vzorkování).
\begin{equation} \bf
f \leq \frac{\Delta u}{2 \pi U_m t_{přev}}.
\end{equation}
%------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=12cm}{ipc1}
% \vspace*{12cm}
\caption{Porovnání měření 12bitovým A/D převodníkem karty IP-Coach a~METEXu M 3850 }
    \end{figure}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=11cm}{ipc2}
% \vspace*{11cm}
\caption{Obdoba předcházejícího obrázku, jen šum karty IP-Coach je
odstraněn mnohonásobným opakování měření }
    \end{figure}
%---------------------------------------------------------------------
Porovní přenosti měření různých A/D  převodníků je nutné provádět opatrně,
abychom porovnávali srovnatelné. Nazorně  to objasňuje následující obrázek,
který porovnává  reprodukovatelnost  měření napětí pro
multimetr METEX M 3850 a~12bitového A/D převodníku školního systému IP-Coach.
Bylo provedeno 300 měření a~výsledek byl znárorněn graficky.
Začátečník by usoudil, že multimetr METEX M 3850 měří jasně přesněji.
Měřící karta IP-Coach je však schopna provest více jak 10 000 měření za sekundu
naproti tomu METEX provede maximalně 10 měření za sekundu a~hodí se jen
pro měření pomalu se měnících napětí. Měříme-li takovéto napětí pomocí
IP-Coach je možné za 0.1s provést až 1000 měření a~šum odstranit tak, že
z~naměřených hodnot vypočteme aritmetický průměr. Jak je vidět z~následujícho
obrázku šum se dá v~tomto případě výrazně zmenšit.
Větší problémem jsou systematické chyby měření. Pro měřená napětí jsou
chyby udavaná výrobci obou  zařízení kolem 2 mV.
%=================================================

\subsubsection{Rušení u~číslicových měřících přístrojů}

\input impedanc.pic\\
Měření mohou ovlivnit stejnosměrná nebo střídavá rušivá napětí superponovaná
na měřený signál. Podle $[10]$ rozlišujeme rušení  {\bf souhlasné} $U_{CM}$
(Common Mode) a~{\bf sériové} $U_{SM}$ (Series Mode).


Souhlasné rušivé napětí $U_{CM}$ působí ve stejné fázi na vstupních
svorkách H a~L číslicového voltmetru a~způsobuje rušivý proud $I_{CM}$,
který vytváří na rezistoru nevyvážených přívodů chybové napětí.
Sériové rušivé napětí $U_{SM}$ se přičítá přímo k~měřenému napětí $U_m$.


Zdrojem stejnosměrného rušivého napětí  jsou v~provozu nejčastěji
termoelektrická napětí ve vstupním obvodu voltmetru a~zbytková napětí přepínače
na vstupu voltmetru.


Zdrojem střídavého rušivého napětí je často napětí indukované do vstupních
obvodů multimetru elektromagnetickým polem síťových vodičů, nebo  zvlněním
napětí napájecího zdroje.


Schopnost číslicového voltmetru potlačit souhlasné rušení je
charakterizována  {\bf činitelem  potlačení součtového rušení}
\begin{equation} \bf
CMRR = 20 \log \frac {U_{CM}}{\Delta U} \; \; \; [dB]
\end{equation}


Schopnost číslicového voltmetru potlačit sériové rušení je charakterizována
{\bf činitelem potlačení sériového rušení}
\begin{equation} \bf
SMRR = 20 \log \frac {U_{NM}}{\Delta U} \; \; \; [dB],
\end{equation}
kde $\bf \Delta U$ je chyba údaje měřidla způsobená rušením.
Nejčastěji se uvádí CMRR pro $\bf R_p = 1 \; k~\Omega$ nebo pro
$\bf R_p = 100 \; \Omega$ (údaj je větší o~20 dB)


Čím větší  bude impedance $\bf Z_{iz}$, tím menší bude $\bf I_{CM}$.
Velké izolační impedance $\bf Z_{iz}$ dosáhneme plovoucím vstupem
číslicového voltmetru (obě vstupní svorky  L, H jsou izolovaně
odděleny od kostry přístroje).\\[4 mm]
Sériové rušení účinně potlačíme u~stejnosměrného měřeného napětí, jestliže
rušivý signál má střídavý periodický průběh. K~potlačení používáme filtrace
pasivními a~aktivními filtry nebo výše popsanou integraci měřeného napětí.
Potlačení sériového rušení pomocí filtrů však zmenšuje rychlost měření.


Voltmetry a~multimetry určené k~přesnému měření napětí
mívají pro připojení napětí 3 vstupní zdířky označené G, L a~H.
Svorky G a~L bývají propojeny. Zasuneme-li banánek do svorky G dojde
k~rozpojení těchto svorek. Jsou možné dva základní způsoby připojení
měřeného napětí:
\begin{itemize}
\item Třívodičové zapojení má vyšší činitel potlačení
souhlasného ss a~st napětí ve srovnání s~dvouvodičovým zapojením.
Napětí přivedeme pomocí vodičů L a~H, které jsou stíněny vodičem připojeným
do svorky G. Je nutno dbát na to, aby svorky $L_m$ a~$L$ byly propojeny
vodičem s~co nejmenším odporem, aby se potlačilo rušení souhlasným napětím.
\item Dvouvodičové zapojení  zapojení využívá jen svorek L a~H. Svorka G je
uvnitř přístroje propojena se svorkou G. K~přivedení napětí je nejvýhodnější
použít koaxiální kabel, jehož stínění se připojí do svorky L. Činitel
potlačení souhlasných napětí je nižší, než u~třívodičového zapojení.
\end{itemize}
Situaci pro multimetr M1T 380 názorně ukazuje následující obrázek:\\[3 mm]
\input voltmetr.pic
%=================================================

\subsubsection{Příklad uvádění parametrů voltmetrů}

\centerline{\begin{tabular}{|rl|rl|l||rl|rl|rl|l|} \hline
M1T 330 &   & & & &  M1T 380 &   & && & &\\
Rozsah &&  Citlivost& & Vstupní odpor &
Rozsah &&  C1& & C2 &  & Vstupní odpor\\ \hline
300 &mV & 10& $\mu$  V~& $> 10^9 \; \Omega$ &
150 & mV & 1 &$\mu \;V$ &  100 & nV & $>1000 M\Omega$\\
3 &V & 100& $\mu$  V~& $> 10^9 \; \Omega$  &
1,5 & V~& 10 &$\mu \;V$ & 1& $\mu$V& $>1000 M\Omega$\\
30 &V & 1&   mV & $> 10^9 \; \Omega$ &
15 & V~& 100 &$\mu \;V$ & 10 & $\mu$V & $>1000 M\Omega$\\
300 &V & 10&   mV & $ 10 \;M \Omega  \pm 1 \% $ &
150 & V~& 1 &mV & 100 & $\mu$V& $>1000 M\Omega$\\
 \hline
\end{tabular}}
\vspace{2 mm}
C1 je citlivost pro integrační dobu 20 ms a~200 ms.
C2 je citlivost pro integrační dobu 2 s.\\
MH - měřená hodnota, MHMR - zvolený rozsah\\
[5mm]
\centerline{\begin{tabular}{|l||l|} \hline
Základní chyba M1T 330 & Základní chyba M1T 380 \\ \hline \hline
0,01 \% MH + 0,01 \% MHMR   &
100 ppm MH + 20 ppm MHMR + chyba vnějšího normálu\\
\hline
\end{tabular}}
\vspace{5 mm}\\
\centerline{\begin{tabular}{|l||l|} \hline
Přídavná teplotní chyba M1T 330  & Přídavná teplotní chyba M1T 380 \\
\hline \hline
(0,002 \% MH + 0.002 \% MHMR)/K & (20 ppm MH + 10 ppm MHMR)/K\\
\hline
\end{tabular}}
\vspace{5 mm}\\
\centerline{\begin{tabular}{|l|l|l|} \hline
Potlačení souhlasného napětí při rozvážení 1 $k \Omega$ & M1T 330  &
 M1T 380 \\
\hline \hline
ss   napětí &  $> 120 \; dB$  & $> 120 \; dB$ \\
st napětí síťového kmitočtu & $ > 140 \; dB$ &  $ > 140 \; dB$\\
\hline
\end{tabular}}
\vspace{5 mm}\\
\centerline{\begin{tabular}{|l|l||l|l|} \hline
Potlačení sériového rušivého napětí síťového kmitočtu & M1T 330  &
  Doba integrace & M1T 380 \\
\hline \hline
 &  $> 60 \; dB$  & 200 ms & $> 65 \; dB$ \\
  &    & 20 ms & $> 45 \; dB$ \\
  &    & 2 s~& $> 80 \; dB$ \\
\hline
\end{tabular}}

\subsubsection{Příklad uvádění parametrů A/D převodníků}

U~měřící karty PCL -818L uvádí pro analogové vstupy výrobce
následující parametry:\\
\centerline{\begin{tabular}{|ll||ll|} \hline
Anglicky & & Česky & \\ \hline \hline
Channels:& 16 singel-endes or 8 differential &
Kanály:&16 unipolárních nebo  8 bipolárních\\
\hline
Resolution:& 12 bits & Rozlišení:& 12 bitů \\ \hline
Conversion type:& Successive approximation &
Typ převodníku: &s postupnou  aproximaci\\    \hline
Conversion rate:&  40 kHz max & Frekvence vzorkování: &do 40 kHz\\ \hline
Accuracy:& $\pm(0.01 \%$  of reading)  $\pm 1$  bit
&Přesnost:& $\pm (0,01 \%$  měřené hodnoty) $\pm 1$ bit \\
\hline
Linearity: &$\pm 1 \; bit$ & Linearita: &$\pm 1 \; bit$\\
\hline
Data transfer:& Program, & Přenos dat:& programově, \\
& interrupt or DMA & & pomocí přerušení nebo DMA\\
\hline
\end{tabular}}\\[2 mm]
{\it Poznámka:} Karta  PCL 818L je výrobkem firmy ADVANTECH, obdobnou kartu
s~označením DAS-16 vyrábí i~firma KEITHLEY a~pod označením  AX 5411 ji vyrábí
i~firma AXIOM. Tato karta of firmy AXIOM je součástí
školního měřicího systému ISES Profesionál.\\ [3 mm]
Pro měřící kartu AXIOM uvádí výrobce následujíc parametry:\\
\centerline{\begin{tabular}{|ll||ll|} \hline
Anglicky & & Česky & \\ \hline \hline
Number of inputs & 16 single-ended & Počet vstupů & 16\\
Resolutino & 12 bits &Rozlišení &12 bitů \\
Sampling Rate & 60 kHz max. & Vzorkovací frekvence & 60 KHz max.\\
A/D Conversion Time & 15 $\mu s$ max. &Doba převodu & 15 $\mu s$ max.\\
Channel Acquisition Time & 5 $\mu s$ max. & & 5 $\mu s$ max.\\
System Accuracy & $\pm 0.03 \%$ FSR & & $\pm 0.03 \% $ MHMR \\
Nonlinearity & $\pm 1$ LSB & Nelinearita & $\pm 1$ LSB\\
Differential Nonlinerity & $\pm 1$ LSB& Diferenciální nelinearita &$\pm 1$ LSB\\
Inherent Quantizing Error & $\pm 1$ LSB & Kvantizační chyba & $\pm 1$ LSB\\
Zero Drift: Bipolar & 17 ppm of FSR/C & 17 ppm MHMR/K& \\
Gain Drift & 30 ppm of FSR/C && 30 ppm MHMR/K \\
\hline
\end{tabular}}\\[2 mm]
Anglická zkratka FSR se česky překládá jako MHMR tj. maximální hodnota
měřícího rozsahu
%==================================================

\section{Senzory}

Senzor [20] je funkční prvek tvořící vstupní blok měřicího řetězce, který je
v~přímém styku s~měřeným prostředím. Pojem senzor je ekvivalentní pojmu
snímač, převodník nebo detektor. Citlivá část senzoru se občas označuje
jako čidlo. Senzor jako primární zdroj informace snímá sledovanou fyzikální,
chemickou nebo biologickou veličinu a~dle určitého definovaného principu ji
transformuje na měřicí veličinu - nejčastěji na veličinu elektrickou.

\subsection{Rozdělení senzorů}

\begin{itemize}
\item Dle měřené veličiny: \\
senzory teploty, tlaku, průtoku, radiačních veličin, mechanických veličin
(posunutí, polohy, rychlosti atd.), senzory elektrických 
a~magnetických veličin atd.
\item Dle fyzikálního principu:\\
senzory odporové, indukčnostní, indukční, kapacitní, magnetické, piezoelektrické,
optoelektronické, optické vláknové,chemické, biologické aj.
\item Dle styku senzoru s~měřeným prostředím:
bezdotykové, dotykové.
\item Dle transformace signálu: aktivní, pasivní.\\
Aktivní senzor je senzor, který se působením snímané veličiny chová jako
zdroj elektrické energie.\\
Pasivní senzor je senzor, u~kterého je nutné elektrickou veličinu
(odpor, indukčnost, kapacitu atd.) dále transformovat  na analogový napěťový
nebo proudový signál. U~pasivních senzorů je na rozdíl od aktivních senzorů
nezbytné napájení.
\item Dle výrobní technologie:\\
elektromechanické, mechanické, pneumatické, elektrické, elektronické,
elektrochemické, polovodičové, mikroelektronikcé, optoelektroniké aj.
\end{itemize}

\subsection{Technické parametry senzorů}

\centerline{\begin{tabular}{|l||l|} \hline
{\bf Statické parametry} & {\bf Dynamické parametry} \\ \hline \hline
citlivost & parametry  časové odezvy \\
práh citlivosti & časová konstanta \\
dynamický rozsah & šíře frekvenčního pásma \\
reprodukovatelnost & frekvenční rozsah \\
rozlišitelnost & rychlost číslicového převodu \\
aditivní a~multiplikativní chyby & parametry šumu \\
linearita & \\
parametry výstupu & \\
\hline
\end{tabular}}

\subsubsection{Statické vlastnosti senzorů}

Statická převodní charakteristika senzoru je dána funkční závislosti
$y = f(x)$ mezi vstupní veličinou $x$ a~výstupní veličinou $y$ 
v~časově ustáleném stavu.\\ Tuto závislost lze velmi často popsat polynomem
$y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n$. Ideální statická
charakteristika je dána vztahem $ y = K~x$, kde $K$ je {\bf citlivost}
senzoru a~současně konstanta přenosové funkce. Pro obecnou funkční závislost
je citlivost $K$ definována $K = \frac{df(x)}{dx}$. Vzhledem k~působení
parazitních veličin je lepší definovat citlivost takto:
$K = (\frac{\partial f(x)}{\partial x})_{z_1, \ldots z_n = konst.}$, kde
$z_1, \ldots z_n$ jsou parazitní veličiny.\\ [3 mm]
{\bf Práh citlivosti} senzoru je dán hodnotou snímané veličiny, při níž
je na výstupu senzoru signál odpovídající střední kvadratické odchylce
šumu senzoru. Například pro napěťový signál je práh citlivosti
$u_y = \sqrt {\overline{u_s^2}}$ \\ [3 mm]
{\bf Dynamický rozsah} senzoru je dán intervalem přípustných hodnot snímané
fyzikální veličiny, ohraničený práhem citlivosti a~maximální hodnotou
měřené veličiny. \\ [3 mm]
{\bf Reprodukovatelnost} senzoru je dána odchylkou naměřených hodnot při
krátkodobém časovém sledu měření neměnné vstupní veličiny a~neměnných
rušivých vlivů okolí. \\ [3 mm]
{\bf Rozlišitelnost} senzoru je nejmenší změna snímané veličiny odpovídající
absolutní nebo relativní chybě senzoru. Při analogové transforamci signálu je
rozlišitelnost dána vztahem
\begin{equation}
r_a = \frac {1}{\frac{y_{max} - y_{min}}{2 (\Delta y)_{max}} + 1}
\doteq 2 \delta_s,
\end{equation}
kde $(\Delta y)_{max}$ je maximální hodnota absolutní chyby měření v~rozsahu
měření, $\delta_s$ je relativní chyba senzoru.\\ [3 mm]
{\bf Relativní chyba} senzoru je dána vztahem
$\delta_s = \frac{(\Delta y)_{max}}{y_{max} - y_{min}}$.\\
Poznámka: U~senzorů se chyby často udávají vztažené ke vstupní veličině, tj.
$\delta_s = \frac{(\Delta x)_{max}}{x_{max} - x_{min}}$. \\ [3 mm]
{\bf Aditivní a~multiplikativní chyby} viz. .... \\ [3 mm]
{\bf Spolehlivost senzoru (přístroje)}\\
Spolehlivost je podle ČSN IEC 50 (191) chápána jako souhrnný termín pro
popis pohotovosti a~činitelů, kteří ovlivňují: bezporuchovost, udržovatelnost
a~zajištěnost údržby. Pro měřicí přístroje je pak pro takto obecně chápanou
spolehlivost nejvýznamnější dílčí vlastností {\bf bezporuchovost}, která je
definována jako schopnost objektu plnit požadovanou funkci v~daných podmínkách
a~v~daném časovém období.
Ukazatelé bezporuchovosti obecně popisují pravděpodobnost chování náhodné velčiny
"doba do poruchy" (při stanovení kritéria poruchy). U~přístrojů chápaných
jako neopravované objekty jsou pak nejčastěji používány tyto:
\begin{itemize}
\item pravděpodobnost bezporuchového provozu  $R(\tau)$
\item pravděpodobnost poruchy $F(\tau)$
\item hustota pravděpodobnosti poruch $f(\tau)$
\item intenzita poruch $\lambda(\tau)$
\item střední doba mezi poruchami (MIBF) $\Delta \overline{\tau}$ \\
U~přístrojů, které lze opravovat je používána následující charakteristika:
\item  střední doba do první poruchy (MITFF) $\overline{\tau }$
\end{itemize}
{\bf Pravděpodobnost poruchy} $F(\tau)$ vyjadřuje, že během intervalu
$(0, \tau )$ vznikne porucha u~$N(\tau )$ přístrojů z~celkového sledovaného
počtu $N_0$ na začátku zkoušky, což lze vzjádřit vztahem
$F(\tau) = \frac{N(\tau )}{N_0}$. Je zřejmé, že $R(\tau ) = 1 - F(\tau )$.\\
{\bf Hustota pravděpodobnosti poruch} $f(\tau ) = \frac{df(\tau)}{d \tau}$.\\
{\bf Intenzita poruch} $\lambda (\tau )$ vyjadřuje rychlost vzniku poruch
v~souboru sledovaných přístrojů $N(\tau )$, u~kterých ještě nenastala
porucha. $\lambda(\tau ) = \frac{f(\tau )}{R(\tau )}$  \\
V~případě konstantní intenzity poruch
$\lambda (\tau) = \lambda$, tj. pro rozdělení náhodné veličiny
"doba do poruchy" platí exponenciální zákon, bude pravděpodobnost bezporuchového
provozu $R(\tau )$ dána výrazem $R(\tau ) = e^{-\lambda \tau }$\\
Většinou intenzita poruch klesá až do časového okamžiku $\tau_1$ (období častých
poruch). Pak až do doby $\tau_2$ bývá intenzita poruch většinou konstantní.
Od časového okamžiku $\tau_2$ opět začíná závislost stoupat, protože se
začíná projevovat opotřebení atd. \\ [3 mm]
%..................................
{\bf Střední doba do poruchy} $\overline{\tau}$ se zavádí u~přístrojů, které
se při poruše neopravují; vyjadřuje aritmetický růměr dob bezporuchového
provozu $\tau_i$ všech $n$ přístrojů zkoumaného souboru do vzniku první poruchy,
tedy $\overline{\tau} = \frac{1}{n} \sum \limits _{i=1}^n \tau_i$.\\ [2 mm]
{\bf Střední doba mezi poruchami} $\Delta \overline{\tau}$ vyjadřuje
aritmetický průměr všech dob bezporuchového provozu $\tau_i$ přístroje
mezi dvěma za sebou následujícími poruchami, tedy
$\Delta \overline{\tau} = \frac{1}{n_F} \sum \limits _{i=1} \tau_i$,
kde $n_F$ je celkový počet poruch jednoho přístroje. Určuje se u~přístroje,
které se po poruše opravují, tj. obnovuje se jejich provozuschopnost.
%.................................................................

\subsubsection{Dynamické vlastnosti senzorů}

Měřená hodnota fyzikální nebo jiné veličiny se neustále mění s~časem.
Senzory zařazené v~regulačních smyčkách nebo indikující mezní stavy procesu musí být
navrženy tak, aby výstupní signál $y(t)$ sledoval s~minimálním zkreslením
vstupní signál $x(t)$. V~dalším budeme vycházet z~předpokladu, že dynamické chování
senzoru lze popsat lineární diferenciální rovnicí s~konstantními koeficienty.
Pokud rovnice neni lineární, je nutné ji po úsecích linearizovat a~dynamické chování
sledovat v~daných úsecích. Podrobný matematický popis problematiky je možné
nalézt v~[20] a~[22]. Graficky se zobrazují dynamické vlastnosti dynamickými
charakteristikami:
\begin{itemize}
\item {\bf Přechodová charakteristika} - odezva na skokovou změnu vstupní
veličiny; popisuje ji přechodová funkce
\item {\bf Rychlostní charakteristika} - odezva na vstupní veličinu měnící se
konstantní rychlostí; popisuje ji rychlostní funkce
\item {\bf Impulsní charakteristika} - odezva na změnu vstupní veličiny
ve formě impulsu; popisuji ji impulsní funkce
\item {\bf Frekvenční charakteristika} - vyjádření chování přístroje při
harmonické změně vstupní veličiny; popisuje ji frekvenční přenosová funkce.
\end{itemize}
Průběh libovolné dynamické charakteristiky lze určit experimentálně, nebo
výpočtem.
%...........................

\subsection{Metody zmenšení chyb senzorů}

Z~hlediska chyb je nutné kromě systematických a~nahodilých chyb jednotlivých
funkčních bloků senzoru uvažovat zapojení senzoru do systémum tj. musí
se respektovat vazba senozoru s~ostatními částmi systému a~parazitní
vazby uvnitř senzoru. Mezi rušivé veličiny prostředí patří například
teplota, tlak, vlhkost, radiace, pole (elektrické, magnetické,
elektromagnetické) aj. Zpětný vliv senzoru na měřený proces má za následek,
že hodnota měřené veličiny se změní vlivem senzoru (například dotykový
teploměr sníží teplotu měřeného místa). Jako zpětný vliv rozhraní, přístroje 
a~jiného zařízení připojeného k~senzoru lze uvést zatěžovací impedance, rušivé
signály vedení nebo parazitními zemními smyčkami aj. Vnitřní rušení uvnitř
senzoru a~případného elektro\-nic\-ké\-ho řetězce je působeno oteplením, parazitními
kapacitami nebo jinými vazbami aj.\\
V~praxi se můžeme setkat s~celou řadou metod, které zmenšují chybu senzorů.
Podrobný popis metod je možné nalézt například v~[22]. Zde uvádíme jen přehled
nejpoužívanejších metod:
\begin{itemize}
\item Metoda kompenzačního senozoru
\item Metoda diferenčního senzoru
\item Metoda zpětnovazebního senzoru
\item Metoda sériového zapojení linearizačního členu
\item Metoda linearizace při číslicovém zpracování signálu
\item Metoda automatické kalibrace
\item Metoda filtrace
\item Metoda posunu spektra
\item Metoda korekce dynamických chyb senzoru
\end{itemize}


%==================================================

\section{ Chyba při vážení na analytických vahách }

\begin{enumerate}
\item Přibližnou hmotnost určíme na předvážkách.
\item Určíme nulovou polohu $\bf n_{o1}$.
\item Váhy zaaretujeme, na levou misku dáme před\-mět a~na pravou závaží
o~hmotnosti zjištěné při předvážení.
\item Váhy odaretujeme a~závaží dokorigujeme tak, aby rovnovážná poloha
$\bf n_1$ byla vpravo od nulové polohy  $\bf n_{o1}$. Této poloze
odpo\-ví\-da\-jí\-cí závaží označme $\bf Z_1$.
\item Pomocí jezdce nebo  na pravou misku přidáme přívažek $\bf \Delta Z$
takový, aby
rovnovážná poloha $\bf n_2= n_1 + \Delta n$ ležela na stupnici vlevo od
$\bf n_{o1}$.
\item Vypočítáme citlivost vah $\bf c=\Delta n/\Delta Z$. \\
Udává změnu rovnovážné polohy, která odpo\-ví\-dá jednotkovému přívažku.
\item Určíme nulovou polohu $ \bf n_{o2}$ po vážení. Vý\-sled\-ná nulová
poloha je
$\bf n_o=(n_{o1}+n_{o2})/2$.
\item Hmotnost tělesa určíme ze vztahu\\[2mm]
$ \bf m= Z_1 +  \vert \frac{n_o-n_1}{c} \vert$.
\item Střední kvadratická chyba váženi je
$ \bf \delta(m) =  \kappa (n)/c $, kde $\kappa (n)$ je krajní chyba
jednoho čtení na stupnici vah.
\item V~případě, že $\vert n_0 - n_1 \vert$ je větší   než  $ \kappa (n)$
vypočteme chybu z~tohoto rozdílu tj.
$\bf \delta(m)= \vert (n_0-n_1)/c \vert$.
\end{enumerate}

\section{Využití systému FAMULUS 3.5}

\subsection{Vytvořené modely ve Famulovi}

V~systému FAMULUS je k~dispozici celá řada knihoven pro  zpracování
experimentálních dat.\\ Kni\-hov\-ny STAT.FML a~INTERP.FML jsou dodávány přímo
se systémem. Knihovny STAT1.FML, MARQ.FML a~BSPL.FML je možné získat v~našem
archivu programů.\\[2 mm]
Příznivci jazyka PASCAL naleznou celou řadu zajímavých programů ve skriptech
$[7]$. \\[2 mm]
Přehled  dostupných modelů pro systém FAMULUS ukazuje následující tabulka:\\
\centerline{\begin{tabular}{|l|l|} \hline
Název & Popis\\
\hline \hline
DISTRIBS.FM & Rozdělení pravděpodobnosti a~distribuční funkce pro hod kostkou\\
DISTRIS1.FM & Rozdělení pravděpodobnosti a~distribuční funkce diskrétní
náhodnou veličinu\\
\hline
NORM1.FM &  Hustota a~distribuční funkce normálního rozdělení\\
NORM2.FM & Kreslí grafy normálního rozdělení pro různé hodnoty směrodatné
odchylky\\
MORM3.FM & Kreslí grafy normálního rozdělení pro různé hodnoty střední hodnoty\\
NORM4.FM & Zobrazuje interval spolehlivosti pro normální rozdělení\\
\hline
GAMA.FM & Graf gama funkce pro $x >0$\\
GAMA1.FM & Graf gama funkce pro kladné i~záporné hodnoty x\\
STUDENT.FM & Srovnání Studentova rozdělení s~normálním rozdělením\\
STUDB.FM & Interval spolehlivosti pro Studentovo rozdělení\\
\hline
PRIMKA.FM & Proložení přímky metodou nejmenších čtverců\\
PRIMKAP.FM & Předcházející program doplněný o~analýzu dat\\
\hline
POLY.FM & \\
POLY1.FM & \\
\hline
\end{tabular}}\\[5 mm]

\subsection{Dostupné knihovny}

\subsubsection{Knihovna INTERP.FML}

Zahrnuje základní procedury a~funkce pro interpolaci v~jedné proměnné
derivaci a~integraci pomocí kubických splinů.\\
Konstanta Natural: použijeme ji často - pokud budeme chtít přirozený spline.
Natural=9e999\\
%=====================================================
{\bf PROCEDURE Spline(x[i=iMin TO iMax],y[ ],y1Min,y1Max,y2[])}\\
Příprava interpolace pomocí kubických splinů.\\
Význam argumentů:\\
\centerline{\begin{tabular}{ll}
 x[ ], y[ ] & x-ové a~y-ové souřadnice bodů, kterými provádíme interpolaci\\
 iMin,  iMax & určují, které body bereme při interpolaci do úvahy\\
 y1Min, y1Max& požadované hodnoty 1. derivace v~bodech x[iMin], x[iMax]\\
 y2[ ] &výstupní pole - po ukončení procedury obsahuje druhé derivace 
v~interpolovaných bodech\\
\end{tabular}}\\
 POZOR ! :  Pole x[ ] a~y[ ] musí být setříděna např. procedurou SORT.Sort2.\\
Poznámky:  Výše je definována reálná konstanta Natural,
kterou je možné použít místo hodnot y1Min, y1Max.
V~tom případě jde o~tzv. přirozený spline -
hodnota 2. derivace v~daném okrajovém bodě je rovna 0.\\[3 mm]
%=====================================================
{\bf FUNCTION  SplineDerivace(xa[i=iMin TO iMax],y[ ],y2[ ],x)}\\
Vrací derivaci získanou interpolací pomocí kubických splinů.\\
Význam argumentů:\\
\centerline{\begin{tabular}{ll}
x[ ], y[ ] & x-ové a~y-ové souřadnice bodů, kterými provádíme  interpolaci\\
iMin, iMax & určují, které body bereme při interpolaci do úvahy \\
x & hodnota argumentu, pro který chceme znát derivaci\\
y2[ ] & pomocné pole, ve kterém jsou uloženy druhé
derivace v~interpolovaných bodech \\
&- toto pole musí být inicializováno procedurou Spline\\
\end{tabular}}\\[3 mm]
%===========================================
{\bf FUNCTION  SplineInt(x[i=iMin TO iMax],y[ ],y2[ ],x);}\\
Vrací hodnotu získanou interpolací pomocí kubických splinů.\\
Význam argumentů:\\
\centerline{\begin{tabular}{ll}
x[ ], y[ ] & x-ové a~y-ové souřadnice bodů, kterými provádíme interpolaci\\
iMin, iMax & určují, které body bereme při interpolaci do úvahy\\
x & hodnota argumentu, pro který chceme znát  interpolovanou hodnotu\\
y2[ ] & pomocné pole, ve kterém jsou uloženy druhé
derivace v~interpolovaných bodech\\
& POZOR ! pole y2[ ] toto pole musí být inicializováno procedurou Spline\\
\end{tabular}}\\[3 mm]
%==================================================
{\bf FUNCTION  SplineIntegral(x[i=Min TO Max],y[ ],y2[ ],Od,Do)}\\
Vrací hodnotu integrálu určeného tabulkou x-ových a~y-nových hodnot.\\
Význam argumentů:\\
\centerline{\begin{tabular}{ll}
x[ ], y[ ] & x-ové a~y-ové souřadnice bodů, kterými provádíme
integraci \\
& (integrace je prováděna interpolací x-ových a~y-nových hodnot
kubickými slipny)\\
iMin, iMax & určují, které body bereme při interpolaci do úvahy\\
y2[ ] & pomocné pole, ve kterém jsou uloženy druhé
derivace v~interpolovaných bodech\\
& POZOR ! pole y2[ ] toto pole musí být inicializováno procedurou Spline\\
Od, Do & určují meze integrálu\\
\end{tabular}}\\[3 mm]
%=================================================
{\bf FUNCTION  PolynInt(x[i=iMin TO iMax],y[ ],x)}\\
Polynomiální interpolace skupinou bodů v~rovině Lagrangeovou interpolací.\\
\centerline{\begin{tabular}{ll}
x[ ], y[ ] & x-ové a~y-ové souřadnice bodů, kterými provádíme  interpolaci\\
iMin, iMax & určují, které body bereme při interpolaci do úvahy\\
x & bod, ve kterém chceme znát interpolovanou hodnotu\\
\end{tabular}}
%=========================================

\subsubsection{Knihovna STAT.FML}

{\bf PROCEDURE LinRegrese( x[i=iMin TO iMax],y[ ], VAR a,b)}\\
Proloží přímku zadanými body\\
 \centerline{\begin{tabular}{ll|ll}
& {\it Parametry:} & & {\it Jako lokální proměnné jsou použity:}\\
   x[ ]  & nezávisle proměnná (např. čas měření)&      R   &  korelační koeficient\\
   y[ ]  & závisle proměnná (např. naměřené hodnoty) & SR   & reziduální součet čtverců\\
   a,b  &  parametry proložené přímky tvaru y = ax + b &   s~& odhad směrodatné odchylky\\
& &    sa   &     odhad směrodatné odchylky pro koeficient a\\
& &    sb   &     odhad směrodatné odchylky pro koeficient b\\
\end{tabular}}\\
 {\it Příklad volání:}\\
           REAL x[1 TO 5],y[1 TO 5],a,b\\
           .................\\
           READ TAB x[ ],y[ ]\\
           LinRegrese(x[ ],y[ ],a,b)\\[5 mm]
{\bf PROCEDURE PolynRegrese( x[i=iMin TO iMax],y[ ], a[j=j0 TO N])}\\
 Proložení polynomu stupně N danými body\\
  \centerline{\begin{tabular}{ll|ll}
& {\it Parametry:} & &  {\it Jako lokální proměnné jsou použity:}\\
   x[ ]  &  nezávisle proměnná (např. čas měření) &  R &   korelační koeficient\\
   y[ ]  &  závisle proměnná (např. naměřené hodnoty)&    SR   &     reziduální součet čtverců\\
   a~&  koeficienty polynomu; &     s~&     odhad směrodatné odchylky\\
         &  uvažovaný model $y = \sum(a[j]*(x[j]^j)$) & &\\
   N     &  stupeň prokládaného polynomu & &\\
\end{tabular}}\\
 {\it Příklad volání:}\\
           REAL x[1 TO 10],y[1 TO 10],a[0 TO 2]\\
           .................\\
           READ TAB x[ ],y[ ]\\
           PolynRegrese(x[ ],y[ ],a[ ])\\[5 mm]
%===================================================
{\bf PROCEDURE SpecLinRegrese( x[i=iMin TO iMax],y[],EXPR f1, f2, VAR x, VAR a,b)}\\
 Proložení lineární kombinace dvou zadaných funkcí zadanými body\\
  \centerline{\begin{tabular}{ll|ll}
  & {\it Parametry:} & &  {\it Jako lokální proměnné jsou použity:}\\
   x[ ] &  nezávisle proměnná (např. čas měření)&     R &       korelační koeficient\\
   y[ ] &  závisle proměnná (např. naměřené hodnoty)&    SR &       reziduální součet čtverců\\
   a,b &  parametry modelu ve tvaru $y = a~f1(x) + b f2(x)$&     s~&       odhad směrodatné odchylky\\
 & &   sa &       odhad směrodatné odchylky pro koeficient a\\
 & &   sb &       odhad směrodatné odchylky pro koeficient b\\
 \end{tabular}}\\
 {\it Příklad volání:}\\
           REAL x[1 TO 5],y[1 TO 5],a,b,x\\
           .................\\
           READ TAB x[ ],y[ ]\\
           SpecLinRegrese(x[ ],y[ ],1,exp(x),x,a,b)\\[5 mm]
%=================================================================
{\bf PROCEDURE Statistiky(REAL x[i=iMin TO iMax])}\\
Spočte 23 základních statistik, které jsou uloženy v~proměnných
s~odpovídajícím jménem\\
{\bf Poznámka:}
Vektor x[ ] může obsahovat nedefinované (chybějící) hodnoty.
Jednotlivé statistiky jsou lokální proměnné v~této proceduře
a~jejich hodnoty získáme pomocí tečkové notace.\\
{\it Příklad volání:}\\
       REAL x[1 TO 5]\\
       .................\\
       READ TAB x[ ]\\
       Statistiky(x[ ])\\
       WRITE "Pruměr z~", Statistiky.N," dat je ",Statistiky.Prumer\\
{\it Použité proměnné a~jejich stručné zavedení (definice)}\\
\centerline{\begin{tabular}{rll}
INT & N                & celkový počet pozorování (definovaných hodnot x[ ] )\\
REAL& Sum              & součet všech definovaných položek vektoru x[ ]\\
REAL& Sum2             & součet druhých mocnin x[ ]\\
REAL& Minimum,Maximum  & nejmenší a~největší hodnota v~x[ ]\\
REAL& Prumer           & průměr\\
REAL& Median           & medián (neboli "střed" x[ ] - tzn.,že\\
    &                  & počet $x[i]<=$Median je roven počtu $x[i]>=$Median\\
REAL& Rozptyl          & rozptyl je definován jako $(Sum2-Sum*Sum/N)/(N-1)$\\
REAL& SmerOdch         & směrodatná odchylka, je rovna $\sqrt{Rozptyl}$\\
REAL& Sikmost          & koeficient šikmosti\\
REAL& Spicatost        & koeficient špičatosti\\
REAL& Rozpeti          & rozpětí x[ ], šili (Maximum - Minimum)\\
REAL& K1               & dolní (K1) a~horní (K3) kvartil. Pokud bychom\\
REAL& K3               & vektor x[ ] uspořádali vzestupně podle velikosti,\\
   &                   &K1 a~K3 odpovídají $x[1/4*N]$ a~$x[3/4*N]$\\
REAL& IkRozpeti        & interkvartilové rozpětí neboli (K3 - K1)\\
INT& Nv1SmO            & počet pozorování, která leží v~intervalech\\
INT& Nv2SmO            & (Prumer-i*SmerOdch,Prumer+i*SmerOdch), i=1,..,3\\
INT& Nv3SmO            &\\
REAL& Pv1SmO           & jsou to Nv1SmO ... Nv3SmO\\
REAL& Pv2SmO           & převedena na procenta\\
REAL& Pv3SmO           & \\
\end{tabular}}\\[5 mm]
%==============================================================
{\bf PROCEDURE}\\
{\bf FrekvTab(x[i=iMin TO iMax],Skupina[j=jMin TO jMax],
Cetnost[], VAR INT PocetTrid)}\\
 Výpočet frekvenční tabulky (tabulky četností) daného vektoru.\\
{\bf  Poznámky:}
 Jsou-li data (hodnoty ve vektoru x[ ]) diskrétního charakteru (tj. x[ ]
 obsahuje jen několik hodnot, které se opakují), procedura počítá četnosti
 těchto hodnot. Jinak je interval od minima x[ ] do maxima x[ ] rozdělen
 ekvidistantně na optimální počet tříd a~jsou spočítány četnosti těchto
 skupin. Pokud jsou dimenze polí {\bf Skupina[ ]} a~{\bf Cetnost[ ]} menší než je
 optimální {\bf PočetTříd}, je spočtena tabulka podle dimenze těchto polí.\\
 Parametry:\\
 \centerline{\begin{tabular}{ll}
     x[i=iMin TO iMax]    &     (* vektor pozorování (data) *)\\
     Skupina[j=jMin TO jMax] &  (* středy skupin pozorovaných hodnot (dat) *)\\
     Cetnost[j=jMin TO jMax] &  (* četnosti těchto skupin *)\\
     PocetTrid                & (* počet skupin (tříd), do kterých byla data
                                  rozdělena. Je vždy <= 16)\\
\end{tabular}}\\

\subsubsection{Knihovna STAT1.FML}

Upravená knihovna STAT.FML, která byla rozšířena o~další procedury a~funkce:\\
{\bf PROCEDURE Dnorm(x,VAR f,g,BOOLEAN VAR typ)}\\
Distribuční funkce normalního rozdělení.\\
x= argument funkce rozdělení\\
f= distribuční funkce (typ=FALSE)\\
f= 1 - distribuční funkce (typ = TRUE)\\
g= rozdělovací funkce (derivace distribuční funkce)\\[3 mm]
%----------------------------------------------------------
{\bf FUNCTION REAL Dfinv(alfa)}\\
Kvantil normalního rozdělení pro hladinu významnosti alfa (obvykle 0.05)\\[3mm]
{\bf FUNCTION REAL Tstud(alfa, INT n)}\\
Kritické hodnoty Studentova rozdělení (Studentovy koeficienty) pro hladinu
významnosti 1-alfa a~pocet stupnu volnosti n\\[3 mm]
{\bf PROCEDURE PolynRegrese( x[i=iMin TO iMax],y[ ], a[j=j0 TO N], da[ ],w[ ],alfa)}\\
Standartní procedura PolynRegrese byla rozšířena o~vypočet disperze koeficientu
polynomu a[ ] (pole da[ ]) a~interval spolehlivosti na hladině
významnosti 1-alfa (pole w[ ]) v~jednotlivých bodech x[i] \\
Procedury LinRegrese a~SpecLinRegrese  byly upraveny nevýznamně
%==============================================
%------------------------
\begin{figure}[htb]
 \ingr{height=11cm}{mar1}
% \vspace*{11cm}
\caption{Ukázka postupného hledaní optimálního průběhu s~využitím
 Marq\-uardt-Le\-venbergova algoritmu}
    \end{figure}
%---------------------------------------------------------------------

\subsubsection{Knihovna MARQ.FML}

Knihovna MARQ.FML umožňuje provádět nelineární regrese metodou nej\-men\-ších
čtver\-ců s~použitím Marq\-uardt-Le\-venbergova algoritmu  parametry minimalizace
(např. maximální počet iterací) jsou  uvedeny na začátku hlavní časti
knihovny.


Model TESTMARQ. FM: Hledání parametrů Rosenbrockovy funkce.
Výsledky minimalizace  jsou ukládány do souboru definovaném na začátku
těla programu počáteční odhady hlednaných parametrů jsou uvedeny na konci
datového souboru TESTM.DAT.\\
Pomocné soubory:\\
TESTM. DAT    data pro TESTMARQ.FM  - Rosenbrockova funkce s~šumem, který
má Gaussovo (normalní) rozdělení\\
TESTM. OUT    ukázka výstupniho souboru\\
KMITY2.FM     hledání parametrů tlumených kmitů (kmity tyče) - 5 parametru.
Počáteční odhad parametrů se provede sejmutím polohy tří  významných bodů
na měřené závislosti pomocí myši. \\
KMITY2.DAT    data pro KMITY2.FM (reálná data naměřená soupravou IP-COACH)\\
KMITY2.OUT    ukázka výstupního souboru\\






Literatura:\\
$[1]$ Rektorys K.: Přehled užité matematiky, SNTL Praha, 1968\\
$[2]$ Šťastný F.: Fyzikální praktikum pro nefyzikální obory, UJEP Brno\\
$[3]$ Novák M.: Úvod do praktické fyziky, UJEP Brno 1989\\
$[4]$ Brož J. a~kolektiv: Základy fysikálních měření I, SPN Praha 1967\\
$[5]$ Hanousek J. a~Charamza P.: Moderní metody zpracování dat - matematická
statistika pro každého, Grada Praha 1992, ISBN-80-85623-31-5\\
$[6]$ Meloun M. a~Militký J.: Statistické zpracování experimentálních dat,
Edice Plus, Praha 1994, ISBN 80-85297-56-6\\
$[7]$ Novák M. a~kolektiv: Fyzikální praktikum I, UJEP Brno 1982\\
$[8]$ Celý J.: Programové moduly pro fyzikální výpočty, UJEP Brno 1985\\
$[9]$ Humlíček J.: Základní metody numerické matematiky, UJEP Brno 1980 \\
$[10]$  Bajcsy  J., Kodaj D., Kováč K., Smieško V.: Automatizované
systémy merania riadené mikropočítačmi, ALFA Bratislava 1986 \\
$[11]$ Sobotka Z.: Přehled číslicových systémů, SNTL Praha 1981\\
$[12]$ Matoušek A., Hradil F.: Provozní měření v~elektrotechnice, STRO.M
Praha 1996\\
$[13]$ ČSN 35 6505 ze dne 26.11.1975, ÚNM Praha 1975\\
$[14]$ Budíková M., Mikoláš Š., Osecký P.: Teorie pravděpodobnosti a~matematická
statistika (sbírka příkladů), Masarykova Univerzita, Brno 1996,
ISBN 80-210-1329-x \\
$[15]$ Budíková M., Mikoláš Š., Osecký P.: Popisná statistika,
 Masarykova Univerzita, Brno 1996, ISBN 80-210-1210-3 \\
$[16]$ Kožíšek J.: Statistická analýza, ČVUT Praha 1996, ISBN 80-01-00965-3 \\
$[17]$ Kožíšek J.: Statistická analýza, Příklady, ČVUT Praha 1997, ISBN 80-01-01617-X\\
$[18]$ Novotný J.: Vybrané statě z~fyziky (Zpracování experimentálních dat),
ČVUT Praha 1994, ISBN 80-01-01052-X \\
$[19]$ Beneš V., Dohnal G.: Pravděpodobnost a~matematická statistika,
ČVUT Praha 1993, ISBN 80-01-00911-4 \\
$[20]$ Ďaďo S., Kreidl M: Senzory a~měřicí obvody,
ČVUT Praha 1996, ISBN 80-01-01500-9 \\
$[21]$ Fajt V., Haasz V., Sedláček M: Elektrická měření,
ČVUT Praha 1996, ISBN 80-01-00751-0 \\
$[22]$ Bráza A., Jenčík J.: Technická měření,
ČVUT Praha 1996, ISBN 80-01-01495-9 \\
%\begin{figure}
%\input p.pic
%\caption{Jana}
%\end{figure}


\end{document}


%########################################################################
%#########################################################################
%########################################################################




